En una inductivo de la familia de los grupos, hace que la probabilidad de que una palabra en particular está satisfecho convergen?

Question

Tenemos un grupo de palabras $w$ en $k$ letras. Decimos que un $k$-tupla de elementos del grupo $\vec{g} = (g_1, g_2, \ldots , g_k) \in G^k$ satisface la palabra $w$ si $w$ le da identidad a $\vec{g}$. Más precisamente: La palabra $w$ es un elemento de $F_k$, el grupo libre en $k$ letras. El $k$-tupla $\vec{g}$ especifica algunos homomorphism $\varphi_{ \vec{g} } : F_k \longrightarrow G$ por el universal de la propiedad. En esta notación, $\vec{g}$ satisface $w$ si $\varphi_{ \vec{g} } (w) = e$.

Para un grupo finito $G$, estamos interesados en la probabilidad de que un azar (uniformemente elegido) $k$-tupla de elementos del grupo satisface la palabra $w$. Llame a esta probabilidad $p_w(G)$.

Ahora a considerar algunos de los familiares de grupos finitos, cada inyecta el siguiente:

$$ G_0 \hookrightarrow G_1 \hookrightarrow \ldots \hookrightarrow G_n \hookrightarrow \ldots $$

Es cierto que $p_w(G_n)$ converge a un límite?

Por ejemplo, si la palabra $w$ es $x_1 x_2 x_1^{-1} x_2^{-1}$, a continuación una sencilla grupo de teoría de argumento muestra que el $p_w(G_n)$ disminuye monótonamente.

Para la palabra $x_1^2$, la secuencia no necesita ser monótono, pero parece converger todos modos.

¿Alguien sabe una prueba de que el límite existe? O tener un contraejemplo?

Answer 1

Juan, tú ya lo sabes, y esto está lejos de una respuesta, pero pensé que yo diría que es para el beneficio de otros que quieran reflexionar sobre el problema.

Llamar a una palabra $w(x_1,x_2,\dots,x_k)$ "groupy" en la variable $x_i$ si, para valores fijos de las otras variables, el conjunto de valores de $x_i$ tal que $w$ es el elemento de identidad es un subgrupo de todo el grupo. Llame a $w$ "groupy" si es groupy en todas sus entradas.

Podemos demostrar que si $w$ es groupy, y $H \le G$,, a continuación,$p_w(H) \ge p_w(G)$, dando la monótonamente decreciente de la propiedad en $p_w(G_n)$.

La palabra $x$ y la palabra $e$ son groupy por razones triviales. Más allá de estos, el único groupy palabra que se me ocurre es el colector de palabra $[x_1,x_2]$.

Por otro lado, si nos restringimos a la variedad de abelian grupos, todas las palabras de poder de las palabras (por ejemplo, $x^2$ o $x^3$) son groupy, de ahí el monótonamente decreciente posee propiedad.

La iterada colector $[[x_1,x_2],x_3]$ es groupy en $x_3$, pero no (en general) en $x_1$ o $x_2$ - sin embargo, es probable que el groupiness argumento puede extenderse un poco para cubrir estos tipos de palabras también.

Answer 2

Edit: Como Juan señala a continuación, esto no funciona.

Veamos el ejemplo en el que $w=x_{1}^{2}$. Estoy bastante seguro de que $p_{w}(G\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \geq 1/2$ sobre grupo $G$ (de donde tomamos el no abelian elección para las semifinales del producto directo,) ya que si $g\in G$ e $z$ es el generador de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$,, a continuación, $(gz)^{2}=gzgz=gg^{-1}zz=1$ (exactamente la mitad de los elementos de $G\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ son de la forma $gz$ donde $g\in G$.)

Por otro lado $p_{w}(G\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \leq 1/5$, ya que si $g\in G$ e $z$ es el generador de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, sabemos que $(gz^{a})^{2}=1$ sólo puede suceder si $z^{2a}=1$, lo cual ocurre con probabilidad de $1/5$.

Podemos combinar estos dos hechos, para obtener una secuencia en la que $p_{w}$ no convergen. (E. g., $G_1 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $\forall i\geq 1$, $G_{2i}=G_{2i-1}\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $G_{2i+1} = G_{2i}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.)

Answer 3

Respuesta Original

Esta no es una respuesta, pero como no ha habido poca actividad en este (muy interesante) pregunta supongo que podría decir.

Lo que si tenemos en cuenta un conjunto de generadores de $G_1$ y mantener ampliar mediante la adición de algunos elementos, de forma que se genera $G_n$ a cada paso. Entonces, mirando a la Cayley gráficos podemos poner un poco de distancia en cada grupo, haciendo de esta una secuencia finita de métrica espacios. La idea sería hacerlo de tal manera que los espacios están convergiendo en la Gromov-Hausdorff sentido a algunos de espacio métrico $(X,d)$ y el uniforme de probabilidades de $\mu_n$ en cada una de las $(G_n,d_n)$ están convergiendo a una cierta probabilidad de medida $\mu$ a $X$.

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Añadió más tarde...

Compactification y débil límite de probabilidades en el caso de finito Abelian cíclico grupos

Considere el caso en que todos los grupos son finitos cíclica, de modo que $G_k = \mathbb{Z}_{n_k}$ (es decir, el finito cíclico grupo de $n_k$ elementos) para algunos no-disminución de la secuencia de números naturales de cada uno de los que se divide la próxima $n_1 | n_2 | \cdots$.

Deje $S = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, podemos identificar cada una de las $G_k$ con el subgrupo $(\frac{1}{n_k}\mathbb{Z})/\mathbb{Z} \subset S$. El uniforme de probabilidad de medidas en estos subgrupos finitos, ya sea converge débilmente a la medida de Lebesgue en $S$ o (si la secuencia de números de $n_k$ es el tiempo constante) eventualmente igual a una constante medir apoyado en un subgrupo finito.

Compactification y débil límite de probabilidades en el caso general de Abelian grupos finitos

Consideremos ahora el caso en que todos los grupos $G_k$ son abelian. Por la clasificación de finito abelian grupos, uno puede descomponer cada una de las $G_k$ en una suma directa de grupos cíclicos con los pedidos que son potencias de números primos. Esto implica que se puede obtener de un grupo isomorfo a $G_{k+1}$ de $G_k$ mediante la sustitución de algunos de estos potencias de números primos por parte de los poderes superiores, y por la formación directa del producto con otro grupo cíclico de potencia de primer orden.

Deje $G = S^{\mathbb{N}}$ ser el producto cartesiano de countably muchas copias de $S$. Este es un compacto y metrizable grupo. Uno puede identificar a cada grupo $G_k$ con un subgrupo de $G$ generado por un número finito de elementos con una potencia de primer orden, y sólo uno, no null corrdinate. La extensión de $G_k$ a $G_{k+1}$ se obtiene mediante la sustitución de uno de estos generadores por otro con el mismo no nulo de coordenadas, pero cuyo fin es el de un poder superior de la misma el primer número, o mediante la adición de un nuevo generador con una potencia de primer orden, cuya única no nulo de coordenadas es distinta de la de todos los otros generadores.

Este procedimiento da lugar a un aumento de la familia de subgrupos de $G$. La secuencia de medidas uniformes $\mu_n$ sobre estos grupos pueden haber visto una débil límite, ya que cada una proyección de coordenadas (¿es un día un constante uniforme medida en un subgrupo finito de potencia principal de la orden, o converge a la medida de Lebesgue en el círculo).

Más indicaciones

La respuesta a la pregunta planteada aquí implica que no son contables de los grupos que no son un subgrupo de un grupo compacto. Por tanto, podría ser posible construir un contra-ejemplo de uso de una de estas contables de grupos como la unión de la $G_n$. El más simple posible candidato parece ser obtenida por la toma de $G_k = \text{SL}(2,\mathbb{F}_{2^k})$ donde $\mathbb{F}_p$ es el campo de la con $p$ elementos.

También, aquí varias contables de los grupos que contienen todos finito subgrupos definidos. Esto podría servir para reducir la discusión a un hormigón de la cadena, tales como $G_1 = S_3, G_{n+1} = S_{G_n}$ donde $S_G$ denota el grupo de permutaciones de los elementos de $G$ (que contiene a $G$ a un subgrupo, ya que cada elemento de $G$ actúa en $G$ como una permutación).