Mínimo polinomio de cos(π/n)

Question

Sé que $\cos(\pi/n)$ es una raíz del polinomio de Chebyshev $(T_n + 1)$, de hecho es el más grande de la raíz del polinomio, pero a menudo que el polinomio de factores. Por ejemplo, si $n = 2 k$ entonces $\cos(\pi/n)$ es el más grande de la raíz de $T_k$, que es un polinomio de grado menor, y si $n = 3$ entonces $\cos(\pi/n)$ es una raíz de $2 x - 1$, menor grado de $T_3 + 1$.

¿Cómo puedo calcular, para un determinado $n$, un polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ de grado mínimo que $\cos(\pi/n)$ es una raíz de?

Answer 1

El polinomio mínimo de $\cos(2\pi/n)$ (por Guillermo Watkins y Joel Zeitlin, La American Mathematical Monthly Vol. 100, Nº 5 (Mayo de 1993), pp 471-474) tiene plena claridad sobre este asunto (acaba de tomar su resultado, incluso, $n$ a resolver su caso).

Answer 2

Supongo que te refieres a un polinomio $p(x)$ con coeficientes racionales. Luego, una vez $\cos {\pi/n}$ es una raíz de $p(x)$, $\deg p=d$, $e^{ip/n}$ es una raíz de un polinomio $t^dp((t+1/t)/2)$. Pero $e^{i\pi/n}$ es una raíz de un cyclotomic polinomio $g(t)=\Phi_{2n}(t)$, que es irreductible, lo $\Phi_{2n}(t)$ debe dividir $t^dp((t+1/t)/2)$, esto es, para cualquier $k\in \{0,1,\dots,2n-1\}$ coprime a $2n$ el número de $\cos \pi k/n$ también es una raíz de $p(x)$. Para $k$ e $2n-k$ obtenemos el mismo valor de un coseno, por lo que tenemos $\varphi(2n)/2$ raíces distintas. En realidad, el polinomio con todos estos $\varphi(2n)/2$ raíces ha racional de los coeficientes. Para ver este observar que $\Phi_{2n}(t)=t^{\varphi(2n)/2}H(t+1/t)$ para algunos polinomio $H$, lo que por supuesto ha racional (incluso entero) los coeficientes, y esto $H$ tiene raíces $2\cos \pi k/n$ para $k$ coprime a $2n$.

Answer 3

Arce 2017.3 ayuda. Por ejemplo,

convert(cos((1/7)*Pi), RootOf);
RootOf(8*_Z^3-4*_Z^2-4*_Z+1, .9009688679)
convert(cos((1/27)*Pi), RootOf)
RootOf(512*_Z^9-1152*_Z^7+864*_Z^5-240*_Z^3+18*_Z-1, .9932383577)

Ver convertir y RootOf para info.

Además. También

convert(sin(7*Pi*(1/22)), RootOf);
RootOf(32*_Z^5+16*_Z^4-32*_Z^3-12*_Z^2+6*_Z+1, .8412535328)
convert(sin(7*Pi*(1/22))^2, RootOf);
-(1/4)*(RootOf(_Z^20-_Z^18+_Z^16-_Z^14+_Z^12-_Z^10+_Z^8-_Z^6+_Z^4-_Z^2+1, index = 1)^7+
RootOf(_Z^20-_Z^18+_Z^16-_Z^14+_Z^12-_Z^10+_Z^8-_Z^6+_Z^4-_Z^2+1, index = 1)^15)^2