Criterios para la irreductibilidad del polinomio

Question

Si $f, g\in \mathbb C[a,b]$ son polinomios en dos variables, no son fáciles de criterios que permitan a ver si $f(x,y)-g(t,z)\in \mathbb C[x,y,t,z]$ es irreducible?

Muchas gracias,

mejor

Answer 1

David es correcta: mi REU los estudiantes han determinado el complejo de polinomios $F(x)$ e $G(y)$ para que $F(x)-G(y)$ tiene un factor irreducible de definir una curva de género 0 o 1. Por Faltings teorema (un.k.una. Mordell de la conjetura), esto nos permite escribir todas las $F(x)$ e $G(y)$ con algebraica de coeficientes para el que hay un campo de número de $K$ tal que $F(K)$ e $G(K)$ tienen infinitas intersección. Por uno de Picard, teoremas, también significa que hemos resuelto la ecuación funcional $F\circ A = G \circ B$ en el complejo de los polinomios $F,G$ y meromorphic funciones de $A,B$. Este último problema ha sido estudiado en el contexto de la búsqueda de variantes de Nevanlinna del teorema de que un no constante meromorphic función está determinada únicamente por su preimages en cada uno de los cinco puntos: nuestra ecuación implica que la preimagen en $A$ del conjunto múltiple de ceros de $F(x)$ comprende el mismo conjunto múltiple como la preimagen en $B$ del conjunto múltiple de ceros de $G(x)$.

Nos fundamentalmente el uso de la condición de género. Si uno pide reducibilidad de $F(x)-G(y)$ sin imponer ninguna hipótesis sobre el género, entonces (como se señaló anteriormente) se pueden encontrar ejemplos al $F$ e $G$ son indecomposable: este fue el objetivo de la ponencia por Cassou-Nogues y Couveignes, aunque cabe señalar que su lista de pares $(F,G)$ es incompleta, así que otra cosa que hicimos fue este verano para encontrar la lista completa de los pares de $(F,G)$ en esta situación. En el descomponible caso, queda mucho por descubrir acerca de la reducibilidad de $F(x)-G(y)$, aunque se han realizado progresos. En particular, Mike Frito mostraron que, si $F$ es indecomposable sino $G$ es descomponible, entonces reducibilidad de $F(x)-G(y)$ implica que el $G=A \circ B$ para algunos polinomios $A$ e $B$ tal que $A$ es indecomposable y $F(x)-A(y)$ es reducible. De ello se desprende que el par $(F,A)$ se produce en la (corregido) Cassou-Nogues--Couveignes lista, y en particular, podemos suponer que cualquiera de las $F = A$ o $\deg(F)=\deg(A)\le 31$. Esto se muestra en [Michael Fried, El campo de definición de la función de los campos y un problema en la reducibilidad de polinomios en dos variables], a través de una novela de argumento que combina la teoría de Galois y la teoría de la representación (si usted está interesado en esto, por favor pregunte a mí, ya que uno de mis REU los estudiantes encontraron una simple prueba de Fritos del resultado que me gustaría compartir). Tomo nota de que, mientras que el Cassou-Nogues--Couveignes resultado depende de la clasificación de los finitos simples grupos (a través de la clasificación de los grupos finitos $G$ que tienen un subgrupo cíclico $C$ que actúa transitivamente en dos no equivalentes doblemente transitiva permutación de las representaciones de $G$). Sin embargo, Frito el resultado es elemental.

Cuando ambos $F$ e $G$ son degradables, en el mismo papel Frito demostrado el siguiente resultado: si $F(x)-G(y)$ es reducible, entonces podemos escribir $F = A \circ B$ e $G = C \circ D$ de tal manera que $A(x)-C(y)$ es reducible y la división de campo de la $A(x)-t$ sobre $\mathbb{C}(t)$ es igual a la división de campo de la $C(x)-t$ sobre $\mathbb{C}(t)$ (donde $t$ es trascendental sobre $\mathbb{C}$). La condición de igualdad de la división de los campos es muy restrictiva, por ejemplo, implica que el $\deg(A)=\deg(C)$ (considerando el tamaño de la inercia de los grupos en infinitos lugares), y también que $A$ e $C$ tienen los mismos valores críticos, o más precisamente que, para cada número complejo $\theta$, el mínimo común múltiplo de las multiplicidades de las raíces de la $A(x)-\theta$ es igual a la correspondiente mínimo común múltiplo para $C(x)-\theta$. Frito de la prueba es muy simple; una buena exposición de lo que es el Teorema 8.1 en [Yuri Bilu y Robert Tichy, La ecuación de Diophantine $f(x)=g(y)$, Acta Arith. 95 (2000), 261--288].

Sorprendente fenómenos en el descomponible caso se puede encontrar en Pedro M\"uller los papeles [Kronecker conjugacy de polinomios, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 350 (1998), 1823--1850] y [Una serie infinita de Kronecker conjugado de polinomios, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 125 (1997), 1933--1940]. El trabajo más reciente sobre el descomponible caso (a mi conocimiento) es [Michael Fried y Ivica Gusic, Schinzel del problema: Imprimitive cubre y la monodromy método, arXiv:1104.1740]. No he digerido todo en estos tres documentos, de modo que yo estaría encantado si alguien quería un resumen de sus principales logros.