Tengo una pregunta algo vaga. Me parece que hay dos formas principales de utilizar los ultrafiltros (en un conjunto). Una es en topología. La noción de un ultrafiltro que converge a un punto es muy útil ya que, en particular, conocer los puntos límite de todo ultrafiltro sobre un espacio equivale a conocer su topología. El otro uso es en lógica (un tema del que reconozco que sé muy poco). Por ejemplo, los ultraproductos (y más generalmente los ultralímites) pueden utilizarse para construir modelos no estándar, etc. Tengo curiosidad por saber si existe alguna conexión entre estos dos usos de los ultrafiltros. Por ejemplo, ¿hay alguna interpretación lógica de la convergencia de los ultrafiltros en un espacio topológico, etc.? ¿Existe alguna conexión con la lógica interna de su topos de gavillas, por ejemplo? Realmente soy un principiante con estas cosas, así que cualquier conexión interesante, incluso trivial, sería muy interesante para mí. Si esta pregunta es demasiado abierta, siéntase libre de cambiar esto a la wiki de la comunidad.
Respuestas
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Algunas de las conexiones entre la topología y la lógica a través de los ultrafiltros existen desde hace tiempo.
Teorema de Łoś de 1955 es el primer lugar donde aparecen los ultraproductos en lógica, hasta donde yo sé, aunque la construcción de ultraproductos es más antigua (probablemente debida a Hewitt). Una prueba muy elegante del teorema de compacidad de la lógica de primer orden utilizando ultraproductos se debe a Morel, Scott y Tarski. Demuestra que la compacidad en lógica es realmente la compacidad de un espacio topológico apropiado. Esta bonita e inspiradora conexión puede ampliarse mucho más.
Un buen punto de partida para conocer estas conexiones es la serie de trabajos de Xavier Caicedo (sin relación):
- Compacidad y normalidad en las lógicas abstractas. Ann. Pure Appl. Logic 59 (1993), nº 1, 33--43.
- El teorema de la compacidad abstracta revisado. Lógica y fundamentos de las matemáticas (Florencia, 1995), 131--141, Synthese Lib., 280, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999.
- Lógica de gavillas de estructuras. (en español) Rev. Acad. Colombiana Cienc. Exactas. Fís. Natur. 19 (1995), nº 74, 569--586.
El último artículo muestra cómo muchas construcciones "límite" en la lógica intuicionista (modelos de Kripke), la teoría de conjuntos (forzamiento) y otros lugares son ejemplos del mismo fenómeno.
Este enfoque topológico de la lógica se guía principalmente por la construcción del ultraproducto. Daniele Mundici también ha escrito sobre esto.
Paolo Lipparini ha estudiado variantes de la compacidad que también resultan tener conexiones con la lógica a través de propiedades de los ultrafiltros, y conducen a problemas muy interesantes que parecen requerir la teoría del pcf Esta línea de trabajo parece haberse originado en la topología teórica de conjuntos, y R. Stephenson escribió un buen estudio (de hace 25 años) sobre el estado de la técnica en el aspecto topológico, véase su artículo en el Handbook of Set-Theoretic Topology.
Por último, la teoría de conjuntos es hoy en día donde más se utilizan tanto los ultrafiltros en general como la construcción del ultraproducto en particular, en relación con los cardinales grandes y las incrustaciones elementales. Se ha demostrado que muchos problemas naturales de la topología de conjuntos tienen profundas conexiones con estos cardinales a través de los ultrafiltros que generan. (Aunque aquí la conexión con la lógica propiamente dicha es más débil).
Otro uso interesante de los ultrafiltros tiene lugar en la geometría métrica, donde se utilizan para construir los llamados conos asintóticos de los espacios métricos.
A grandes rasgos, un cono asintótico de un espacio métrico $X$ es lo que se ve al mirar $X$ desde una distancia infinita. Más precisamente, se reescala la métrica en $X$ dividiendo por $n$ , dejas que $n$ tienden a $+\infty$ y se toma el punto límite de Gromov-Hausdorff de la secuencia obtenida de espacios métricos. Por supuesto, normalmente dicha secuencia no converge, y se utiliza un ultrafiltro no principal ultrafiltro para individuar un límite (dependiendo del ultrafiltro). La idea se debe a Gromov y ha sido descrita por primera vez en detalle por van den Dries y Wilkie en:
Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico y lógica elemental. J. Algebra 89 (1984), nº 2, 349--374.
Otra forma de construir conos asintóticos es la siguiente: se toma una extensión no estándar $^\ast X$ de $X$ con distancia no estándar $^\ast d$ inducido por la distancia $d$ en $X$ se elige un real no estándar infinito $\lambda$ y se identifican los puntos $p,q$ de $^\ast X$ si $^\ast d (p,q)/\lambda$ es infinitesimal. Se pone en el cociente la métrica $d'=^\ast d/\lambda$ obteniendo así un cono asintótico de $X$ (Hago un poco de trampa: también hay que elegir un punto base en $^\ast X$ y considerar sólo los puntos del cociente de $^\ast X$ que son a finito $d'$ -distancia del punto base).
Los conos asintóticos son hoy en día una herramienta útil en la teoría geométrica de grupos, donde se utilizan para estudiar propiedades a gran escala de grupos y espacios.
Es una pregunta polifacética, y las respuestas también lo serán.
En un nivel más simple, usted sabe que la duda sabe que un ultrafiltro en un conjunto $X$ puede identificarse con un homomorfismo de álgebra booleana $PX \to P1$ . Más generalmente, un ultrafiltro en un álgebra booleana $B$ es un homomorfismo de álgebra booleana $B \to P1$ y si pensamos en $B$ (o una presentación de $B$ ) como una teoría proposicional, entonces tales homomorfismos del álgebra booleana o asignaciones de valor de verdad a las proposiciones $b \in B$ pueden considerarse como modelos de la teoría. El conjunto de todos los homomorfismos de las álgebras booleanas puede topologizarse a la manera de Zariski, y el resultado es un espacio de Stone (véase la respuesta de supercooldave) que es compacto, de Hausdorff y totalmente desconectado. La compacidad en particular implica directamente el teorema de la compacidad para las teorías proposicionales: pensando en proposiciones $b \in B$ como dando conjuntos cerrados en el espectro de Zariski, si toda conjunción finita de proposiciones de un conjunto $\Sigma$ tiene un modelo (o un punto en el espacio de Stone), entonces $\Sigma$ tiene un modelo (es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados procedentes de $b \in \Sigma$ es no vacía). Este principio puede reforzarse para abarcar el teorema de compacidad de la lógica de predicados.
He aquí otra conexión cruzada (ya que sacas a colación los modelos no estándar): los ultrapoderes o ultraproductos, utilizados para construir, por ejemplo, los reales no estándar de Robinson, no son más que ejemplos de tomar tallos. Es decir: si tienes un montón de modelos $M_x$ indexado por un conjunto $X$ y si tienes un ultrafiltro en $X$ (realizado como un punto $U$ en la compactación Stone-Cech $\beta X$ del espacio discreto $X$ ), entonces el ultraproducto
$$(\prod_{x \in X} M_x)/U$$
es el valor de la estructura $(M_x)_{x \in X}$ (como objeto en el topos $Set/X$ ) bajo el functor compuesto
$$Set/X \simeq Sheaves(X_{discrete}) \stackrel{i_*}{\to} Sheaves(\beta X) \stackrel{stalk_U}{\to} Set$$
donde $i_*$ es un morfismo geométrico entre láminas inducido por la inclusión continua canónica de $X$ en $\beta X$ . Lawvere ha señalado que tanto la construcción de Robinson como el forzamiento de Cohen son ejemplos de un fenómeno general, en el que se parte de un modelo en un universo $Set$ de conjuntos presumiblemente constantes, luego pasa a un universo de conjuntos más variables (como $Set/X$ , $Sh(\beta X)$ o $Sh(P)$ donde $P$ puede ser un poset de "condiciones de forzamiento"), y luego vuelve a pasar a conjuntos más constantes "congelando en un punto" (tomando tallos en un punto, o pasando a una construcción de filtro-cuota) -- aunque la mención del paso por topos de conjuntos variables se suele eludir en silencio.
Hablando de conos asintóticos... he aquí otra conexión entre ultrafiltros, topología y lógica. Supongamos que $\Gamma$ es un entramado uniforme en $SL_{3}(\mathbb{R})$ . Gromov sugirió que los conos asintóticos de $\Gamma$ son ``(esencialmente) independientes de la elección del ultrafiltro $\mathcal{D}$ .'' De hecho, lo siguiente es cierto:
(a) Si $CH$ se mantiene, entonces $\Gamma$ tiene un único cono asintótico hasta el homeomorfismo.
(b) Si $CH$ falla, entonces $\Gamma$ tiene $2^{2^{\omega}}$ conos asintóticos hasta el homeomorfismo.
Entre otras cosas, la prueba implica algunas ideas del análisis no estándar. La referencia relevante es:
L. Kramer, S. Shelah, K. Tent y S. Thomas Asymptotic cones of finitely presented groups, Advances in Mathematics 193 (2005), 142-173.
Mi impresión, que puede ser ignorante, es que estas intuiciones se remontan a Leibniz. Allí el "punto" se libró de alguna manera de una definición tonta como "posición pero no magnitud", y fue sustituido por una "secuencia de proposiciones cada vez más precisas". Lo que significa "proposición" para los lógicos ha evolucionado desde entonces (Frege). Pero el "principio de los indiscernibles" de Leibniz afirma que si A y B son diferentes, entonces algo es cierto de A y no de B. Un axioma de separación temprano. Sus cosas puntuales se convirtieron en objetos de la metafísica, pero nadie es perfecto.
Si la teoría de los modelos funcionara más explícitamente con un "espacio de modelos", lo que sin duda por buenas razones no hace, la analogía sería más clara para todos. Para la lectura lógica de la teoría de gavillas y la teoría de topos, la forma de equiparar los conjuntos abiertos con las proposiciones es bastante fundamental, aunque tácita.
