Los números surrealistas se presentan a veces como un lugar donde las expresiones locas como $(\omega^2+5\omega-13)^{1/3-2/\omega}+\pi$ (por utilizar el ejemplo de nLab) tienen sentido. El problema es que parece que hay varias definiciones de la exponencial en los números surrealistas y, como no encuentro ninguna referencia reciente que las cubra todas, tengo poca idea de si son realmente las mismas o no. (Cuando digo "exponencial", me refiero a $e^x$ o el general $a^x$ para $a>0$ Obviamente, se puede ir de un lado a otro, siempre y cuando $e^x$ es efectivamente una biyección de surreales a surreales positivos).
A saber:
- Harry Gonshor da una definición en su "Introducción a la teoría de los números surrealistas".
- Gonshor menciona una definición inédita debida a Martin Kruskal; lo mismo hace Conway en la 2ª edición de "On Numbers and Games". Ninguno de los dos enuncia realmente esta definición, pero es estrictamente posible que alguien que no la haya visto verifique la equivalencia con ella, porque Conway menciona que es inversa a una definición particular del logaritmo, que no enuncia explícitamente pero da suficiente información para deducirla. Gonshor parece sugerir en su texto que su definición es equivalente a la inédita de Kruskal, pero por otro lado nunca parece declararlo explícitamente.
- El libro de Norman Alling "Foundations of Analysis over Surreal Number Fields" parece que podría contener otra definición? No tengo muy claro lo que hace, sinceramente, aunque parece que está restringido a surreales no infinitos...
- Página de Wikipedia [versión antigua, esta definición fue eliminada de Wikipedia poco después de hacer esta pregunta] da una definición totalmente no citada para $2^x$ . No tengo ni idea de dónde puede ser esto originalmente. Supongo que se podría sustituir 2 por otros surreales para generalizarlo.
- O bien se podría tomar la definición de Wikipedia y generalizarla de la manera que se suele hacer cuando se parte de $e^x$ ? (¡Espero que esto coincida con la definición 4!).
Tenga en cuenta que la operación $x\mapsto \omega^x$ comúnmente utilizado en los surreales no está relacionado; aunque es exponencial en algún sentido, no es suryectivo sobre los surreales positivos, y por tanto las definiciones de un exponencial general no deberían intentar coincidir con él. Y, por supuesto, las definiciones 1, 2 y 4/5 anteriores son sobreyectivas a los surreales positivos. (O, al menos, Wikipedia afirma que la 4/5 lo es).
Editar : Para evitar confusiones, en lo que sigue, escribiré $\exp_\omega x$ en lugar del habitual $\omega^x$ y reservar la notación $\omega^x$ por lo que sea en la noción de exponenciación que se discute.
Entonces, ¿alguien sabe hasta qué punto son realmente equivalentes? Si no son equivalentes, ¿hay acuerdo sobre cuáles son las definiciones "correctas"? (Parece que todo ¡de ellos tienen las propiedades adecuadas! Y aunque parece que se está de acuerdo en que la idea que subyace a la definición de Kruskal es mala, eso no significa necesariamente que la definición en sí lo sea). ¿O alguien podría indicarme algún libro reciente que aclare todo esto, o al menos la fuente de la definición de Wikipedia?
(Originalmente tenía la intención de hacer otras preguntas sobre la exponenciación surrealista antes de descubrir que no estaba seguro de lo que realmente era. Espero que las referencias que la gente pueda indicarme respondan también a mis otras preguntas).
Ligera actualización : La definición 4 no parece concordar con la definición 5 (ni con la definición 1, véase más adelante); parece que la definición 4 implicaría $3^\omega=\omega$ mientras que la definición 5 implicaría $3^\omega>\omega$ . Esto plantea el problema de que se podrían hacer más definiciones utilizando la definición 4 para definir $a^x$ para algunos fijos $a$ y luego generalizarlo a $b^x$ para todos $b$ a través de la definición 5, y dependiendo de su elección de inicio $a$ -- si $e$ , 2, o algo más -- se obtendrían diferentes definiciones de $b^x$ fuera. ¡Toda una clase propia de operaciones de "exponenciación" distintas! Bueno, quizás no, quizás no todos los valores iniciales de $a>1$ ceder una función onto - tal vez el 2 es especial y es el único que lo hace, aunque eso parece bastante improbable, y salvo eso, esto es bastante malo a pesar de todo. Además, la definición 4 parece bastante sospechosa como definición "correcta" por otra razón: si introducimos dos ordinales, parece que coincidirá con la exponenciación ordinal ordinaria. Esto no concuerda con la definición de Gonshor (que implicaría $\omega^\omega>\exp_\omega \omega$ ) y es sospechoso por sí solo, porque no debemos esperar que uno de los ordinario operaciones ordinales fuera de esto (utilizamos la suma y la multiplicación natural en los surreales, no la suma y la multiplicación ordinaria). Si de hecho obtenemos una operación ordinal a partir de esto, parecería que por la definición de Gonshor, $\omega^\omega$ ni siquiera sería un ordinal, sino que sería igual a $\exp_\omega \exp_\omega (1+1/\omega)$ .
Oops : Lo siento, no debería ser la exponenciación ordinaria, sino su análogo basado en la multiplicación natural. A pesar de todo, sigue sin estar de acuerdo, sigue oliendo mal.
