Nunca lo hemos probado alguna no solucionable caso de reciprocidad, sin el programa de Langlands ?

Question

La reciprocidad , el título es el siguiente no del todo bien-plantea un problema:

Fix $P(X)$ un monic polinomio irreducible de grado $n$, con coeficientes en $\mathbb Z$. "Describir" (en cierto sentido) el conjunto de prime $p$ tal que $P \mod p$ tiene una reducción determinada (por ejemplo, es irreductible, o por el contrario es un producto de $n$ lineal factores, etc.).

Como es bien sabido, cuando una de las raíces (por lo tanto, todas las raíces) de $P$ pasa a ser un cyclotomic entero (en particular, en el caso muy especial donde $P$ es cuadrática), entonces el problema tiene una solución precisa, llamado Artin la ley de la reciprocidad, que es el núcleo de la clase de teoría de campo. Los conjuntos de números primos $p$ tal que $P$ tiene una reducción continuación, se dan por congruencias módulo fijo enteros satisfecho por $p$, es decir, aquellos conjuntos de unión de "conjunto de los números primos en artithemtic secuencia". El grupo de Galois de $P$ es abelian en este caso.

Como el inverso de la complejidad del espectro, hay polinomio $P(X)$ grado $n \geq 5$, cuyo grupo de Galois es grande, decir $S_n$ o$A_n$, en particular, no solucionable. En este caso, es mi entendimiento de que nuestra única esperanza para encontrar una ley de la reciprocidad, en general, está haciendo grandes progresos en el programa de Langlands.

Pero es posible que, en algún caso especial (para polinomios $P$ grupo de Galois $S_n$ dicen que la satisfacción de somme assumtions, o para un explícito de la familia de polinomios de grado variable $n \geq 5$, o incluso para un solo explícito polinomios) donde algún tipo de ley de la reciprocidad se ha trabajado (aunque sólo parcialmente) por algún método que no implica que el programa de Langlands (es decir, las formas modulares, automorphic formas, etc.) ?

Answer 1

Esta es una pregunta muy interesante y sería un excelente tema para una tesis doctoral en la historia de las matemáticas. Voy a interpretar la pregunta como

Que pre-Langlands resultados, problemas y teorías --- aparte de lo que es fácilmente deducible a partir de la teoría de la $\;\mathrm{GL}_1$ (a partir de Gauss a Tate) --- puede ahora ser considerada como una parte del programa de Langlands ?

No hay nada original en mi respuesta : todo lo que se obtiene a partir de los escritos de Langlands, Serre y Weil. Puede que se me haya malinterpretado algunas de sus palabras, y, en cualquier caso, nuestro futuro doctorando tendrá que profundizar en las fuentes originales.

Fricke & Klein (1912) observan que el sistema modular de la curva de $X_0(11)$ de nivel de $\Gamma_0(11)$ está definido por la ecuación de $\sigma^2=1-20\tau+56\tau^2-44\tau^3$.

Hasse (193?) pide a un estudiante de doctorado (Pierre Humbert) para demostrar que el $L$-en función de una curva elíptica $E$ sobre $\mathbf{Q}$ (que se define como el producto a través de varios primos $p$ de la $\zeta$-función de $E$ modulo $p$) es completo y satisface la ecuación funcional. Humbert sagely decide trabajar en la formas cuadráticas con Siegel en su lugar.

Weil (1951) pide en su informe, en el Sur la théorie du corps de clases para un galoisian interpretación de la totalidad de la idèle grupo de clase de un campo de número (como opuesto al cociente de dicho grupo por el componente conectado de la identidad), de forma análoga a la galoisian interpretación en la función de campo de caso. Ver https://mathoverflow.net/questions/41318 en este sentido.

Weil (1952) muestra que ciertas curvas elípticas con multiplicaciones complejas (como $y^2=x^4+1$) son modulares.

Deuring (en 1953, 1957) demuestra (a raíz de una sugerencia de Weil) que todas las curvas elípticas con complejas multiplicaciones son modulares.

Eichler (1954) demuestra que el $L$-función de $X_0(N)$ es esencialmente el producto de Hecke $L$-funciones de cuspidal eigenforms de peso $2$ y el nivel de $N$. Este fue generalizado por Shimura (1958) y completado por Igusa (1959).

Taniyama (1955) se pregunta en el Tokio-Nikko conferencia un tanto imprecisa pregunta que algunos interpretan en el sentido de que uno puede demostrar que la Naturaleza de la conjetura para $E$ mostrando que $E$ es modular.

Shimura (1966) explícitamente determina la ley de la reciprocidad por la división racional de los números primos en el campo de número obtenido por contigua a la $l$-torsión ($l$ prime) de la Fricke de la curva de $X_0(11)$ en términos del coeficiente de $c_l$ de % de $q^l$ en el de forma modular $$ q\prod_{n>0}(1-p^n)^2(1-q^{11n})^2 $$ (pero sólo para $l<100$ para los que no se puede comprobar que el mod-$l$ representación es surjective).

Weil (1967) demuestra que si una curva elíptica sobre $\mathbf{Q}$ es modular, entonces tiene que ser modular de nivel igual a su conductor, y le asigna el Übungsaufgabe al lector interesado en mostrar que cada curva elíptica sobre $\mathbf{Q}$ es de hecho modular.

Alrededor de este tiempo Langlands escribió una carta a Weil y cambió el mundo.

Answer 2

Esta pregunta me da la oportunidad de anunciar un resultado contenida en http://arxiv.org/abs/1201.2124 que caracteriza a los números primos que están completamente divididos en los campos de torsión extensiones $K(E[N])/K$ de curvas elípticas sobre los campos de número. Lo siento por ser auto-referencial.

Deje $K$ ser un campo de número, $E$ una curva elíptica sobre $K$, e $N$ un entero $>0$. Para un número finito de primos $\mathfrak{p}$ de % de $K$ con residuos de campo $k_\mathfrak{p}$, denotan por $a_\mathfrak{p}$ el seguimiento de $E \text{ mod } \mathfrak{p}$, y por $\Delta_\mathfrak{p}$ el discriminante $a_\mathfrak{p}^2-4|k_\mathfrak{p}|$ del polinomio característico $x^2-a_\mathfrak{p}x+|k_\mathfrak{p}|$.

$\textbf{Theorem}.$ Existe un universal de la familia de polinomios $\{\mathcal{P}_D(x)\}_{D\leq 0}$ que satisface la siguiente propiedad. Deje $\mathfrak{p}$ ser una de las primeras de buena reducción de $E$ que no divide $N$, y para el que $E\text{ mod }\mathfrak{p}$ no es especial* si $N=2$. A continuación, $\mathfrak{p}$ se divide completamente en $K(E[N])/K$ si y sólo si ambas condiciones siguientes se cumple:

i) $N^2$ divide $\Delta_\mathfrak{p}$, e $\mathcal{P}_{\Delta_\mathfrak{p}/N^2}(\;j_E\;)\equiv 0\text{ mod }\mathfrak{p}$;

ii) $a_\mathfrak{p}\equiv 2 +\dfrac{\Delta_\mathfrak{p}}{N}\text{ mod }N^*$;

donde $N^*=N$ si $N$ es impar, y $N^*=2N$ lo contrario.

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*esta condición, no se explican aquí, evita sólo un número finito de $\mathfrak{p}$.

Si $D$ es un discriminante negativo, el polinomio $\mathcal{P}_D(x)$ es monic con coeficientes enteros. Sus raíces son las $j$-invariantes de complejo de curvas elípticas con CM por un pedido que contiene el imaginario cuadrática de orden de discriminante $D$. Por otra parte $\mathcal{P}_0(x)=0$ e $\mathcal{P}_D=1$ si $D$ no es un discriminante.

La prueba de que el resultado es a través de métodos locales y se basa en el hecho de que si el anillo de $k_\mathfrak{p}$-endomorphisms de $E\text{ mod }\mathfrak{p}$ es una ecuación cuadrática de la orden, entonces la acción de la $\text{Frob}_\mathfrak{p}$ a $E[N](\bar K)$ es equivalente a la acción de $\text{Frob}_\mathfrak{p}$ a $\tilde E_\mathfrak{p}[N](\bar K)$ donde $\tilde E_\mathfrak{p}$ es el Deuring levantamiento de $E\text{ mod }\mathfrak{p}$. La evaluación de los polinomios $\mathcal{P}_D(x)$ a $j$-invariante $j_E$ de % de $E$ entra en la condición i) con el fin de identificar el correcto levantamiento de $E\text{ mod }\mathfrak{p}$ (para que esto funcione en el supersingular caso de que uno tiene que hacer algunas observaciones).

El Teorema fue conocido si $\mathfrak{p}$ es una corriente principal para $E$. El hecho de que la formulación sigue siendo cierto para supersingular de los números primos (infinitamente muchos al $K$ es real) es quizás la novedad.

Dado que los métodos utilizados en la prueba son bastante antiguos, me doy cuenta de que el resultado podría no ser tan interesante para los especialistas. Pero al menos su declaración da una idea de cómo una ley de la reciprocidad en un no-solucionable contexto podría parecer.

Adelmann en su libro "La Descomposición de números Primos en la Torsión Punto de Campos", trata el mismo problema. Él emplea modular de polinomios para caracterizar la completa división de los números primos.