Deje $G = \{ g_i | i = 1, ...,n \}$ ser un grupo finito y denotan por $G!$ el conjunto múltiple que consta de todos los productos de todos los diferentes elementos de $G$ en cualquier orden, que es $$ G! = [ \prod_i g_{\sigma(i)} | \sigma \in S_n] $$.
Estoy interesado en saber cómo $G!$ se comporta como un conjunto, y también ¿cuál es la frecuencia de cada elemento aparece (es decir, cómo se comporta, como un conjunto múltiple).
En el caso de un abelian $G$, $G!$ es 1 o (si existe) el único elemento de orden 2 en $G$.
Podemos utilizar el abelian caso para conseguir una (aparentemente apretado) límite superior en $G!$ como un conjunto, considerando modding por $[G,G]$: proyección de cada producto para el cociente, que es abelian, obtenemos $a^{\#[G,G]} \in G/[G,G]$ donde $a$ es el único elemento de orden 2 en $G/[G,G]$ si es que existe, y la identidad de otra manera. Por lo tanto, si bien $a$ es la identidad o $\#[G,G]$ es incluso, $G!$ está totalmente contenida en $[G,G]$, y en contrario contenida en el coset correspondiente a $a$.
La razón de esta enlazado parece apretado es que en general es fácil de obtener elementos en el colector de un grupo (hasta el elemento de orden 2): si $a,b,a^{-1},b^{-1}$ son distintos, $[a,b] \in G!$ poniendo todos los otros elementos de $G$ a la derecha junto a la inversa, excepto para $a^{\pm1}, b^{\pm1}$ , y, asimismo, para los productos de conmutadores y así sucesivamente.
Es siempre el caso de que $G!$ es un coset de el colector de un grupo? ¿Cuál es la frecuencia de cada elemento aparece? También podría ser útil para mirar a la acción de la $Aut(G)$ a $G!$, pero no estoy totalmente seguro de lo que puede que nos dicen.
