El axioma de regularidad básicamente dice que un conjunto deben ser disjuntas de al menos un elemento. He escuchado esto refuta auto que contiene conjuntos. Veo cómo se podría prevenir $A=\{A\}$, pero parece no hacer nada acerca de $B=\{B,\emptyset\}$. Es disjunta de a $\emptyset$. ¿Qué es una refutación de la existencia de $B$, y cómo se relaciona con el axioma de regularidad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aleksandr Levchuk
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No. El axioma de regularidad dice esto: todo conjunto no vacío contiene un elemento distinto de ella. Así que supongamos que hay un conjunto de $B$ tal que $B = \{ B, \emptyset \}$; entonces el conjunto $\{ B \}$ contiene ningún elemento distinto de $\{ B \}$: $$B \cap \{ B \} = \{ B \} \ne \emptyset$$ por tanto no se establezca $B$.
iturki
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El axioma de fundación o de la regularidad por sí sola no puede demostrar que no existe ninguna $x$ tal que $x \in x$.
El axioma de regularidad (también llamado el axioma de fundación) afirma que cada conjunto tiene un $\in$ mínimo elemento. Es decir, para todos los $x$, existe un $y \in x$ tal de que no hay $z \in x$$z \in y$.
El axioma de fundación no es exactamente equivalente al hecho de que no existe un $x$ tal que $x \notin x$. Hay dos elementos del modelo de la fundación (extensional, la unión y vinculación) de tal manera que existe una $x$$x \in x$. Deje $M = \{x,y\}$ donde $x$ $y$ dos objetos diferentes. Definir $\in^\mathcal{M} = \{(x,y), (y,y)\}$. Usted puede comprobar la fundación mantiene en este modelo de $\mathcal{M}$, pero $y \in y$.
Tenga en cuenta que el axioma de la comprensión y de la fundación puede demostrar que no existe ninguna $x$ tal que $x \in x$
skyking
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Junto con axiomschema de la separación:
Suponga que $A\in A$, entonces hay un conjunto $B = \{x\in A: x=A\}$ que no está vacía desde $A\in B$. Ahora para cualquier $x\in B$ es cierto que $x=A$, lo $\forall x\in B: x\cap B = A\cap B$, pero desde $A\in A$ $A \in B$ que $A\cap B \ne \emptyset$. Pero eso es el equivalente a $\neg\exists x\in B: x\cap B = \emptyset$, lo que contradice el axioma de regularidad.
Por lo tanto podemos concluir $A\notin A$.
