Ejemplo de haz de fibras que no es un fibration

Question

Es bien conocido que un haz de fibras en algunas leves hipótesis es una fibration, pero yo no conozco a ninguno de los ejemplos de los haces de fibras que no son (Hurewicz) fibrations (que debe ser extraño ejemplos, creo yo, porque si la base de que el espacio es paracompact, a continuación, el paquete es un fibration).

¿Alguien sabe un ejemplo?

Gracias!

Answer 1

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\A}{\longrightarrow} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$The example described in Tom Goodwillie's answer to a related mathoverflow question essentially solves this question. Specifically, Tom defines an orientable, non-trivial, real line bundle $L$ over a contractible space $X$. The principal $GL_1^+(\RR)$-bundle — $GL_1(\RR)$ will work as well — associated to $L$ is then a locally trivial fibre bundle $p:E\a X$. The principal bundle $p:E\a X$ does not admit a section, since the line bundle $L$ is not trivial. It follows that $p$ cannot be a Hurewicz fibration: otherwise it would admit a section, given that $X$ is contractible. For convenience, I will give below the construction of $p:E\a X$ y un par de detalles de la prueba — la mayoría de copiado de Tom respuesta, y después de su notación donde sea posible. Por favor upvote Tom Goodwillie la respuesta, que sin duda es más corto y más legible.

La base del espacio de $X$

Deje $X$ ser el espacio obtenido al pegar dos copias de $\RR$ a lo largo de $\RR^+$: $$ X = (\RR\times\{0,1\})\mathbin{/}{\sim} $$ donde ${\sim}$ es generado por $(x,0)\sim(x,1)$ para $x\in\RR^+$. Este espacio no es Hausdorff, y está estrechamente relacionado con la conocida línea con dos orígenes. Deje $q:\RR\times\{0,1\}\to X$ ser el cociente mapa. Definir dos subespacios cubriendo $X$ por $U=q(\RR\times\{0\})$ e $V=q(\RR\times\{1\})$. Por último, vamos a $g:X\to\RR$ ser la función continua determinada por $g(q(x,i))=x$, y definir $$f=g|_{U\cap V}: U\cap V \To \RR^+$$ Es importante destacar que, se observa que la $f$ no se extiende a un mapa continuo $X\to\RR^+$.

El espacio total $E$

Considerar la topológico grupo abelian $G=GL_1^+(\RR)=(\RR^+,\cdot)$ dada por el positivo de reales con la multiplicación. Deje $E_U=U\times G$ e $E_V= V\times G$ denotar el trivial $G$-paquetes de más de $U$ e $V$, respectivamente. Construir la directora $G$-bundle $E$ sobre $X$ por encolado $E_U$ e $E_V$ a lo largo de $U\cap V$ a través de la $G$-isomorfismo $$ \varphi_f : E_U|_{U\cap V}\overset{\simeq}{\To} E_V|_{U\cap V} $$ definido por $$ \varphi_f(x,g)=\bigl(x,f(x)\cdot g\bigr) $$ Más concretamente, $E$ se obtiene a partir de $E_U \amalg E_V$ mediante la identificación de $(x,g)\in E_U$ con $\varphi_f(x,g)\in E_V$ por cada $x\in U\cap V$. Como en Tom Goodwillie la respuesta, podríamos utilizar cualquier otra función continua $f:U\cap V\to\RR^+$ que no se extiende a una función continua $X\to\RR^+$.

No, la trivialidad de los principales bundle $E\to X$

El mapa de proyección $p:E\to X$ da un principal de $G$-paquete de más de $X$, que viene con canónica isomorphisms $E|_U = E_U$ e $E|_V = E_V$. Ahora vamos a mostrar $p$ no admitir una sección. Por la construcción de $E$, una sección de $p:E\to X$ determina:

• una sección de $E_U=U\times G\to U$, y por lo tanto un mapa de $s_U:U\to G=\RR^+$;
• del mismo modo, un mapa de $s_V:V\to G=\RR^+$;
• estos mapas compruebe $s_V(x)=f(x)\cdot s_U(x)$ por cada $x\in U\cap V$.

En particular, $f(x)=s_V(x)/s_U(x)$ para todos los $x\in U\cap V$. Sin embargo, esto implica que $f$ se extiende a una función continua $\overline{f}:X\to\RR^+$ dada por $$ \overline{f}(x)=\frac{s_V\bigl(q(g(x),1)\bigr)}{s_U\bigl(q(g(x),0)\bigr)} $$ lo que contradice la no extensión de la propiedad de $f$.

Conclusión

La proyección de $p:E\to X$ da un localmente trivial principal $G$-paquete de más de $X$, ya que el $E|_U\simeq E_U$ e $E|_V\simeq E_V$ son triviales $G$-paquetes. Por lo tanto, queda por demostrar que $p$ no es un Hurewicz fibration. Tenga en cuenta que $X$ es contráctiles. Así que si $p:E\to X$ fueron una fibration, sería necesariamente admitir una sección. En detalle, vamos a $H:X\times I\to X$ ser null-homotopy de $\id_X$. Es evidente que se puede levantar la constante mapa de $H_1$ a $E$. Asumiendo $p$ es un Hurewicz fibration, el homotopy elevación de la propiedad, a continuación, se produce una elevación $\widetilde{H}: X\times I\to E$ de % de $H$ a $E$, y, en consecuencia, una sección de $\widetilde{H}_0$ de % de$p$. Pero se mostró en el apartado anterior que $p$ admite que no hay secciones. En conclusión, $p$ no es un Hurewicz fibration.