Monocromático triángulos de cada dos para colorear de el avión?

Question

Un viejo problema (posiblemente debido a la Erdős y Graham?): dado un triángulo $T$, y dos para colorear de el plano, no es necesario existir un monocromático congruentes copia de $T$? Aquí "monocromático" significa que todos los tres vértices de recibir el mismo color. Se sabe que la respuesta depende de $T$.

Hay varios casos conocidos en los que la respuesta es "sí". Por ejemplo, un divertido ejercicio es mostrar que esto es si $T$ es un triángulo con las longitudes de los lados $1, \sqrt{3}, 2$. Creo Erdős y Graham dio infinitas familias de $T$ para que la respuesta es sí.

Por otro lado, se puede dar de dos colorear de el avión, así que no es monocromática triángulo con las longitudes de los lados $1, 1, 1$.

Si recuerdo correctamente, Erdős conjeturó que siempre hay un monocromático copia de $T$, excepto para el triángulo equilátero, que es la única excepción.

(1) ¿alguien sabe si ha habido algún progreso reciente en esta conjetura?

(2) Lo que realmente me gustaría saber: ¿qué acerca de la (degenerado) caso especial de una $1, 1, 2$ triángulo? Esta pregunta puede ser visto como un hypergraph análogo de la Hadwiger-Nelson problema, y sugiere una interesante intersección de Euclídea Ramsey teoría y aditivos de la combinatoria.

Answer 1

Un desarrollo reciente es el descubrimiento de la "cebra" como los colorantes que evitar un triángulo equilátero; antes, se desconoce si la única 2-colorear para evitar un triángulo equilátero es obvio alternando tiras de colores. El papel relevante de es http://arxiv.org/abs/math.CO/0701940.

En http://nucularpower.com/papers/monotriangle.pdf me muestran un 3-coloración que evita el 1,1,2 triángulo; he sido incapaz de encontrar una 2-colorear que lo hace. Es fácil ver (debido a la Soifer) que un 1,1,1 o un 2,2,2 triángulo implica que un 1,1,2 existe el triángulo (para 2 colores, de nuevo). También se sabe que no hay dos-colorear simultáneamente evita triángulos equiláteros de lados 1, 2, y 3.

La conjetura general es todavía muy abierto, como es la conjetura de que los 3 colores suficientes para evitar cualquier triángulo dado.

Edición, diciembre de 2016: he actualizado el enlace a mi nota. En caso de que el enlace se convierte en obsoleta de nuevo, de 3 de colorear que evita un degenerado triángulo es sólo el color de la muestra a continuación, donde la parte superior del hexágono ilustra cómo las fronteras de colores.