Esto en realidad es una muy buena pregunta, y es algo que realmente tiene un enchufe de dos clavijas respuesta completamente de hacer justicia.
PARTE 1.
Tiene usted derecho a ser escéptico y, yo diría, este es otro de esos momentos en los que la "norma" plan de estudios de matemáticas y exposiciones de hacer un gran trabajo de hacer algo fácil, difícil. Usted debe confiar en su instinto, no de su maestro.
La respuesta es simple: no, usted no puede "probar" esto, a menos que la independencia formal de la definición de "área" que es independiente de la integral de Riemann y la integral suficiente para manejar estas situaciones en su propio. Tal definición se puede hacer: se llama Medida de Lebesgue, pero toma un poco más de matemáticas de la maquinaria de la que se dispone en este punto de la exposición para hacer que se cocine.
Básicamente, la medida de Lebesgue es una función que toma un solo argumento de entrada que es todo un conjunto de puntos en el plano, es decir, $S$, interpretado como un área sólida y no simplemente de la frontera, y le dice a su área, $\mu(S)$. Esta $S$ sería, en su caso, el sólido de la figura plana que es de color en los gráficos, en su cálculo de libros de texto como el "área bajo la curva". No hay ninguna integrales que intervienen en su definición, aunque, como yo diría, tendríamos que exponer una cantidad considerable de nueva maquinaria para construir esto. Pero si haces eso, entonces tome mi palabra de que usted puede probar que
$$\mu(S) = \int_{a}^{b} f(x)\ dx$$
donde la mano derecha es una integral de Riemann y la $S$ es como he descrito para esta situación en particular, cuando dijo Riemann integral existe.
AGREGAR: Como @Paramanand Singh menciona en los comentarios, hay maneras más simples para definir el área que puede ser más digerible, en este punto, a pesar de que no cubra la mayor cantidad de casos como la medida de Lebesgue. La medida de Borel y Jordania pseudo-medida son dos opciones y yo podría intentar describirlos aquí si desea o, usted podría hacer otra pregunta en la vena de "¿Qué es un simple, integral libre de definición de la zona de una complicada figura plana que es digerible en o cerca del nivel de los introductorios de cálculo?" y entonces yo podría contestar con uno o ambos de estos.
PARTE 2.
Esto, por supuesto, conduce a lo que la mejor manera de introducir la integral debe de ser, pues no podemos en esta etapa hacer las pruebas necesarias. Y por otra parte, incluso si se pudiera, llevaría a rascarse la cabeza en cuanto a por qué exactamente nos importa a ser la creación de esta idea de "Riemann integral" en primer lugar, cuando ya tenemos una perfectamente buena construcción para el área.
Y así, lo que yo diría es que un enfoque superior, es decir que la integral de Riemann es un método explícito para la reconstrucción de una función a partir de su derivada y, para hacer esto más claro, también necesitamos una mejor comprensión intuitiva de lo que es un "derivado" significa más allá de la "tangente" la línea de negocio que, mientras que en realidad no es malo en absoluto, es en sí mismo también arruinada por una mala explicación, demasiado y que todavía podía agregar más detalles a entrar, pero quiero probar y mantener la atención en el problema en cuestión. Como Deane Yang mencionado en lo que fue uno de los puestos que tuvo una gran influencia en la conformación de mi actual actitud hacia las matemáticas y, especialmente, las matemáticas de la educación, aquí:
una mejor intuitiva modelo para el "derivado" es que es un tipo de "medida de la sensibilidad": si yo digo que la derivada de un valor real de la función de una variable real, $f$, tiene el valor en el punto de $x$ de $f'(x)$, lo que significa que intuitivamente es que si me "meneo" $x$ ida y vuelta un poco, es decir, $\Delta x$, de ida y vuelta en torno a este valor, y puedo ver a continuación, el valor de salida de $f$, es decir, $f(x)$, como si $f(x)$ fueron algunos con un instrumento de lectura e $x$ un dial se podría dar vuelta atrás y adelante, esta $f(x)$ asimismo, "meneo" alguna otra cantidad, es decir, $\Delta y$, y que
$$\Delta y \approx f'(x)\ \Delta x$$
siempre $\Delta x$ es pequeña - la exactitud de la aproximación de convertirse en tan buenas como nos gustaría que nos hagan $\Delta x$ adecuadamente menor que cualquiera sea el valor que hemos estado utilizando hasta ahora: por lo tanto, ¿por qué tenemos que pasar a un límite, un concepto que, una vez más, puede utilizar un poco de elucidación. O, a la vuelta, $f'(x)$ es el "mejor" número para representar lo mucho que la salida cambia de forma proporcional a la de entrada, siempre y cuando se mantenga la entrada de cambiar lo suficientemente pequeño.
La integral de Riemann, entonces, es la respuesta a esta pregunta:
- Dame un procedimiento que, si se nos da la derivada, $f$, para encontrar una función de $F$ que la tiene como su derivado, con la información inicial que $F(a) = 0$, para algunos el punto seleccionado $a$.
Es decir, es en efecto una forma constructiva para resolver lo que en terminología ecuaciones diferenciales, sería llamado el inicial-el problema del valor, o IVP,
$$\frac{dF}{dx} = f, F(a) = 0$$
que procede como sigue.
Se nos da la única a partir de la información que $F(a) = 0$, y que $F' = f$. Así que supongamos que vamos a construir el valor de $F$ a un nuevo punto de $b$ para que $b > a$. ¿Cómo podemos probar esto, teniendo en cuenta lo que ya hemos discutido?
Así que ahora, piensa en lo que acabo de decir sobre el significado de la derivada, y pregúntate a ti mismo esta pregunta:
Sé que $F'$ aquí es cómo de sensible es para un pequeño cambio. Así, supongamos que yo fuera a hacer ahora un Zeno-como maniobra de lúpulo y una pequeña cantidad $\Delta x$ de $a$ hacia la derecha a lo largo de la recta numérica real a $a + \Delta x$. Entonces, ¿qué debemos adivinar por $F(a + \Delta x)$?
Bueno, si tienes lo que acabo de mencionar, entonces usted debe venir a que, desde la $F'(a)$ es proporcionalmente cuánto $F$ va a responder a un pequeño cambio en su entrada alrededor de $a$, y lo que estamos haciendo es exactamente eso: para hacer un pequeño cambio de $a$ a $a + \Delta x$, entonces debemos asimismo mayús $F(a)$ a $F(a) + (F'(a) \Delta x)$, por lo que
$$\begin{align}
F(a + \Delta x) &\approx F(a) + [F'(a)\ \Delta x]\\
&= F(a) + [f(a)\ \Delta x]\end{align}$$
. Y luego, podemos hacer la misma cosa y hacer otra pequeña "meneo" de $a + \Delta x$ a $[a + \Delta x] + \Delta x$ (es decir, $a + 2\Delta x$), y obtenemos
$$\begin{align}F([a + \Delta x] + \Delta x) &\approx F(a + \Delta x) + [F'(a + \Delta x)\ \Delta x]\\
&= F(a) + [f(a) + \Delta x] + [f(a + \Delta x)\ \Delta x]\end{align}$$
y si siguen en este camino, todo el camino hasta que llegamos a $b$, o, al menos, tan cerca como sea posible, ya ves que hemos
$$F(b) \approx \sum_{n=0}^{N-1} f(a + n\Delta x)\ \Delta x$$
o, dejando $x_i := a + i\Delta x$,
$$F(b) \approx \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i)\ \Delta x$$
. Por otra parte, podemos generalizar esto un poco más todavía para permitir escalones irregulares, lo que aumenta la flexibilidad un poco, digamos, ligeramente discontinuo funciones de entrada de $f$, y así obtenemos
$$F(b) \approx \sum_{i=0}^{N-1} f(x_i)\ \Delta x_i$$
y ya casi estamos allí, todo lo que se necesita ahora es un límite para llegar a...
$$F(b) = \lim_{||\Delta|| \rightarrow 0} \sum_i f(x_i)\ \Delta x_i$$
y si introducimos un poco de notación para este nuevo concepto, ahora...
$$\int_{a}^{b} f(x)\ dx := \lim_{||\Delta|| \rightarrow 0} \sum_i f(x_i)\ \Delta x_i$$
que es...?
Y, por cierto, es el Teorema Fundamental del Cálculo mucho de una "sorpresa" ahora, o casi tautológica, algo que fue por diseño, no es un misterio para ser resuelto? (Este es el patrón que yo también encontrar cultivos en otros lugares donde el mejor motivador razón para que algo se pone después y no antes - por ejemplo, del teorema de Cayley en álgebra abstracta.)
Es decir, la verdadera sorpresa es que no podemos utilizar la suma de Riemann para encontrar una antiderivada - que toda su punto - pero que esta suma también puede describir un área y que es, de hecho, mucho menos trivial para probar.
