Para que las variedades es el mapa de el anillo de Chow integral cohomology un isomorfismo?

Question

Mis disculpas si esta pregunta es demasiado ingenuo.

Deje $X$ ser un suave proyectiva compleja variedad. Hay una natural mapa de $A^{\bullet}(X) \to H^{2\bullet}(X)$ graduales de los anillos del anillo de Chow $X$ a la integral cohomology de $X$ dado por tomar Poincaré duales de las clases fundamentales. (Hay un conveniente nombre para él?) Para algunos especialmente agradable de variedades, por ejemplo, espacios proyectivos y, más en general Grassmannians, este mapa es un isomorfismo.

¿Cuáles son algunos más general $X$ para que $A^{\bullet}(X) \to H^{2\bullet}(X)$ es un isomorfismo?

Creo que basta con que $X$ tienen una estratificación por afín espacios. (Hay un conveniente nombre para ese tipo de espacios?) En este caso, al parecer, hay un difícil teorema de Totaro afirmar que $A(X)$ es gratis abelian en los estratos, que creo que también es el caso de la integral cohomology a través de celulares cohomology, y los grados y las intersecciones debe partido así. Hay interesantes familias de ejemplos donde $X$ no admitir tal estratificación?

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Edit: Un punto de vista más general, la condición suficiente, si he entendido mi lectura correctamente, es que el Chow motivo de $X$ es un polinomio en la Lefschetz motivo. Guletskii y Pedrini mostró que esto es cierto (edit: racional) de la Godeaux superficie, así que esto es más general que la de admitir a una estratificación por afín espacios. Hay interesantes las familias de los ejemplos donde esto no se cumpla cualquiera de los dos?

Answer 1

[He incorporado o se dirigió a los comentarios de Dan Petersen y Daniel Litt en esto. Mi agradecimiento a ellos.]

Uno a veces dice que $X$ admite una descomposición celular si se admite una estratificación por afín espacios. El isomorfismo del tipo que mencionas era conocido antes de Totaro, cf Fulton de la Intersección de la Teoría 19.1.11 (en mi edición). Esto se aplica a la bandera de variedades. También un isomorfismo tiene para tóricas de variedades por razones similares.

Una superficie con $p_g=q=0$ es decir $\dim H^0(X,\Omega^2)=\dim H^0(X,\Omega^1)=0$, y $A_0(X)\cong \mathbb{Z}$ cumple la condición de $A(X)\cong H^*(X)$ por el Lefschetz $(1,1)$ teorema. Tenga en cuenta que Bloch ha conjeturado que la segunda condición se sigue de la primera. Uno tiene ejemplos de superficies de Kodaira dimensión cero $\ge 0$, como Enriques superficies (Bloch-Kas-Lieberman) y Godeaux superficies (Voisin), donde se cumplen estas condiciones. Estos no tienen celular descomposiciones.

Por último, asumiendo la Hodge y Bloch-Beilinson conjeturas [gracias Dan], un isomorfismo $A(X)\otimes \mathbb{Q}\cong H^{2*}(X,\mathbb{Q})$ mantiene si y sólo si la Hodge números de $h^{pq}=0$ para $p\not= q$.