Los avatares de el anillo de los polinomios simétricos

Question

Estoy recogiendo diferentes aparentemente no relacionados formas en las que el anillo (o más bien álgebra de Hopf con $\langle,\rangle$) simétrica funciones de $Z[e_1,e_2,\ldots]$ giros (por una Mentira grupos supuesto que me va a dar el próximo año). Hasta ahora tengo:

*El anillo de funciones simétricas

*Representaciones irreducibles de los grupos simétricos =funciones de Schur

*Representaciones irreducibles de lineal general grupos = funciones de Schur

*La homología de $BU$, la clasificación de espacio de las infinitas grupo unitario. (Se convierte también en varias otras relacionadas generalizada de la homología de los anillos de los espectros.)

*El universal conmutativa $\lambda$-ring en un generador de $e_1$

*El anillo de coordenadas de el grupo esquema de poder de la serie de $1+e_1x+e_2x^2+\cdots$ bajo la multiplicación

¿Qué otros ejemplos que he perdido?

Answer 1

El cohomology anillo de la Grassmannian, un avatar conoce a Philip Hall.

Answer 2

Bosón-Fermión correspondencia en teoría de la representación de Kac-Moody álgebras (esto está implícito en el de Richard comentarios). Estrechamente relacionado con esto: las coordenadas en las "células" en el bucle Grassmannian y la relación con el PK, y KdV ecuaciones donde Schur polinomios aparecen como $\tau$-funciones (ver Segal-Wilson papel viejo en Publ. IES).

Answer 3

Como el nLab dice, es el anillo de Grothendieck de la categoría de $k$-lineal de las especies (functors $\text{FinSet}_0 \to k\text{-Vect}$) por $k$ un campo de característica cero. Véase también Schur functor.

Answer 4

Cualquier $\lambda$-anillo de trayecto de la familia de Frobenius ascensores (Adams operadores) indexados por los números primos. Por el contrario, por Wilkerson del teorema, cualquier torsión libre de anillo con los desplazamientos de la familia de Frobenius ascensores admite una única $\lambda$estructura de anillo. De modo que el anillo de $\Lambda$ simétrica funciones pueden ser vistos como la libre objeto en un generador en la categoría de torsión libre de los anillos con los desplazamientos Frobenius ascensores.

También, $\Lambda$ representa la gran Witt vector functor. En otras palabras, es la de coordinar el anillo de la gran Witt anillo de esquema.

Este punto de vista es más aritmética que el enfoque habitual para simétrica funciones, y en mi opinión la conexión entre los dos es un poco misterioso. Por ejemplo, la definición de $\lambda$-anillo de arriba, obviamente, puede ser generalizado a cualquier campo global (y, por tanto, puede que la gran Witt functor) el uso de $p^f$-potencia Frobenius ascensores modulo primer ideales, pero no sé si razonable de los análogos de la primaria simétrica funciones existen en estas generalizaciones.

Answer 5

La Sala de álgebra de finito abelian $p$-grupos, "a $p=1$". Wikipedia explica los conceptos básicos aquí, conferencia 2 de Schiffmann de conferencias en la Sala de álgebras tiene más.

Una más alta tecnología de la manera de pensar de establecimiento $p=1$ es considerar la Sala de álgebra de nilpotent $\mathbb{C}[t]$ módulos (nilpotent lo que significa que $t$ actos nilpotently), donde, en lugar de contar los subgrupos, se toma la característica de Euler de la espacio de los subgrupos.

ACTUALIZACIÓN: me he dado cuenta de que yo no entiendo tan bien como pensaba. Sé que la simétrica funciones están al acecho aquí, pero yo no entiendo muy bien cómo. Usted es probablemente mejor de lectura Schiffmann de confiar en mí para más detalles.