Múltiples suaves como terminación de división idempotente

Question

El nlab tiene algo particularmente interesante que decir sobre la categoría de los manifiestos lisos: es la terminación idempotente-participante de la categoría de conjuntos abiertos de espacios euclidianos y mapas suaves .

Tras demostrarlo, se ofrece el siguiente extracto de un trabajo de Lawvere (citado más adelante).

"Este poderoso teorema justifica que se eviten las complicadas consideraciones sobre gráficos, transformaciones de coordenadas y atlas que se ofrecen habitualmente como definición "básica" del concepto de colector. Por ejemplo, el $2$ -esfera, un colector pero no un conjunto abierto de cualquier espacio euclidiano, puede especificarse completamente con su estructura suave considerando cualquier conjunto abierto $A$ en $3$ -espacio E que lo contiene pero no su centro (tomado como $0$ ) y el endomapa suave idempotente de $A$ dado por $e(x)=x/|x|$ . Todas las construcciones generales (es decir, los funtores en categorías que son Cauchy completas) en los colectores se obtienen ahora fácilmente (sin necesidad de comprobar si son compatibles con las coberturas, etc.) siempre que se conozcan en las aperturas de los espacios euclidianos: por ejemplo, el haz tangente en la esfera se obtiene dividiendo el idempotente $e'$ en el haz tangente $A\times V$ de $A$ ( $V$ siendo el espacio vectorial de las traslaciones de $E$ ) que se obtiene diferenciando $e$ . Lo mismo para los grupos de cohomología, etc.". (Lawvere 1989, p.267)

Lamentablemente el extracto no me alcanza para entender ni el significado ni la idea detrás del teorema, por lo que busco detallado y las explicaciones de la mayor cantidad de partes posibles.

• ¿Cómo justifica este teorema el hecho de obviar las consideraciones de las cartas, los atlas, etc.?
• ¿Cuáles son los detalles del ejemplo de la esfera? ¿Cómo se especifica la estructura lisa mediante un conjunto abierto que la contiene junto con $x/|x|$ ?
• ¿Por qué todas las construcciones generales son de hecho funtores en categorías completas de Cauchy?
• ¿Cuáles son algunos ejemplos de construcciones generales y cómo se siguen fácilmente? ¿Cómo evita este enfoque el lío de las tapas, etc.?
• ¿Qué significa "lo mismo para los grupos de cohomología"?

Referencia: F. William Lawvere, Qualitative distinctions between some toposes of generalized graphs, Contemporary Mathematics 92 (1989), 261-299.

Answer 1

El teorema es el siguiente (de 1.15 de aquí )

• Teorema: Sea $M$ sea una variedad conectada y supongamos que $f:M\to M$ es suave con $f\circ f= f$ . Entonces la imagen $f(M)$ de $f$ es un submanifold de $M$ .

Prueba: Afirmamos que existe una vecindad abierta $U$ de $f(M)$ en $M$ tal que el rango de $T_yf$ es constante para $y\in U$ . Entonces, por el teorema del rango constante 1.13 de loc.cit. el resultado se sigue. Para $x\in f(M)$ tenemos $T_xf\circ T_xf = T_xf$ por lo tanto $\text{image} T_xf = \ker (Id-T_xf)$ y $\text{rank} T_xf + \text{rank} (Id-T_xf) = \dim M$ . Desde $\text{rank} T_xf$ y $\text{rank} (Id-T_xf)$ no puede caer localmente, $\text{rank} T_xf$ es localmente constante para $x\in f(M)$ y como $f(M)$ está conectado, $\text{rank} T_xf = r$ para todos $x\in f(M)$ . Pero entonces para cada $x\in f(M)$ hay un barrio abierto $U_x$ en $M$ con $\text{rank} T_yf\geq r$ para todos $y\in U_x$ . Por otro lado otro lado $$ \text{rank} T_yf = \text{rank} T_y(f\circ f) = \text{rank} T_{f(y)}f\circ T_yf\leq \text{rank} T_{f(y)}f =r $$ desde $f(y)\in f(M)$ . Por lo tanto, la vecindad que necesitamos es dada por $U = \bigcup_{x\in f(M)}U_x$ .

Este resultado también puede expresarse como: Los "repliegues suaves" de de los colectores son colectores. Si no suponemos que $M$ es conectado, entonces $f(M)$ no será un colector puro en general; tendrá diferentes dimensiones en diferentes componentes conectados.

Consecuencias: 1. El (separable) conectado suaves son exactamente los repliegues suaves de subconjuntos abiertos subconjuntos abiertos de $\mathbb R^n$ 's. 2. Una cartografía suave $f:M\to N$ es una incrustación de un submanifold si y sólo si existe una vecindad abierta $U$ de $f(M)$ en $N$ y una suave mapeo $r:U\to M$ con $r\circ f=Id_M$ .

Prueba: Cualquier colector $M$ puede estar incrustado en algunos $\mathbb R^n$ ; véase \N el punto 1.19 más abajo. Entonces existe una vecindad tubular tubular de $M$ en $R^n$ y $M$ es claramente un repliegue de tal vecindad tubular. Para la segunda afirmación repetir el argumento para $N$ en lugar de $\mathbb R^n$ .

Editado y ampliado:

Ahora a sus preguntas, tal y como yo las entiendo: Se puede reconstruir la categoría de colectores lisos y mapeos lisos (conectados, o no conectados pero entonces no puros) como sigue: Los objetos son $(U,f)$ con $U$ abierto en algunos $\mathbb R^n$ y $f:U\to U$ suave con $f\circ f= f$ . Morfismos $h:(U,f)\to (V,g)$ son mapas suaves $h:U\to V$ con $h\circ f = g\circ h$ . Un punto del colector $(U,f)$ es cualquier $x\in U$ con $x=f(x)$ .

Entonces hay que describir los difeomorfismos y deshacerse de la redundancia en la descripción de una variedad. Obsérvese que, incluso en el sentido clásico, si se escribe una variedad $M$ o con un atlas especial, o con el atlas compuesto por todas las cartas lisas posibles, o $\dots$ De alguna manera, identificamos mentalmente las variedades difeomórficas. Déjame intentarlo:

El morfismo de identidad es cualquier $\ell:(U,f)\to (U,f)$ con $f\circ \ell = f$ .

Un difeomorfismo $h:(U,f)\to (V,g)$ es la que admite $\ell:(V,g)\to (U,f)$ con $f\circ \ell\circ h =f$ y $g\circ h\circ \ell = g$ .

El haz tangente de una variedad $(U,f)$ es entonces sólo $T(U,f) = (TU, Tf)$ como colector. Para la estructura de los haces vectoriales, nótese que $TU = U \times \mathbb R^n$ y para un punto $x$ en $(U,f)$ es decir, $x\in U$ con $f(x)=x$ tenemos $T_xf\circ T_xf = T_xf$ una proyección en $\mathbb R^n$ cuya imagen es la fibra del haz tangente.

Espero no haber pasado nada por alto.