Cuando el pushforward de una estructura gavilla de ser todavía una estructura gavilla?

Question

Deje $f:X\rightarrow Y$ ser una de morfismos de esquemas.

1. Al $PicY\rightarrow PicX$ es una incrustación y $f_{*}\mathscr{O}_{X}$ es invertible, es la estructura de la gavilla de $Y$.

2. En la prueba de Zariski Principal del Teorema, tenemos: Si $f$ es birational, finito, integral, e $Y$ es normal, a continuación, $f_{*}\mathscr{O}_{X}$ es la estructura de la gavilla de $Y$.

Mis preguntas son

1) ¿Qué exactamente prevenir $f_{*}\mathscr{O}_{X}$ a ser una estructura gavilla?

2) ¿hay alguna condición necesaria y suficiente(s) garantía de que $f_{*}\mathscr{O}_{X}$ es una estructura gavilla?

Answer 1

P: Exactamente, qué información está contenida en $f_*\mathscr O_X$? Mira el definición. Para cualquier $U\subseteq Y$ abierto, $f_*\mathscr O_X(U) = \mathscr O_X(f^{-1}(U))$ = funciones regulares en $f^{-1}(U)$. Por lo que la información en $f_*\mathscr O_X$ está relacionado con los sets de $X$ forma $f^{-1}(U)$.

Casos donde $f_*\mathscr O_X$ contiene poca información acerca de la $X$ como sea posible.

Si $X$ es irreductible y proyectiva y $f$ es constante, por ejemplo, si $Y$ es afín, entonces la única que no es un conjunto vacío de la forma $f^{-1}(U)$ en $X$ es $X$ sí. En este caso $f_*\mathscr O_X$ es un rascacielos gavilla con tallo $k$ apoyado en el punto de la imagen de $f$ en $Y$. Hay muy poca información sobre $X$, pero quizás lo hagamos ver que $f$ es constante y que $X$ está conectado. Más generalmente, si $Z$ es un proyectiva variedad, $Y$ es cualquier variedad, y $X = Z\times Y$, e $f:Z\times Y\to Y$ es la proyección, a continuación,$f^{-1}(U) = Z\times U$, por lo que un elemento de $f_*\mathscr O_X(U)$, i.e. a regular function on $f^{-1}(U)$, es determinado por su restricción a $\{p\}\times U$ cualquier $p\in X$, es decir, una función regular en $U$ en $Y$. Por lo tanto en en este caso tenemos $f_*\mathscr O_X = \mathscr O_Y$. En consecuencia, en este caso $f_*\mathscr O_X$ recupera $Y$, pero no contiene información acerca de la $X$.

En general, si $f:X\to Y$ es un proyectiva de morfismos con cada fibra conectado, y $Y$ es normal de cualquier variedad, a continuación,$f_*\mathscr O_X = \mathscr O_Y$, así que de nuevo $f_*\mathscr O_X$ contiene poca información acerca de las $X$. Recordar que si $X$ es un proyectiva variedad, a continuación, todos los morfismos de $X$ es un proyectiva de morfismos, y más generalmente un proyectiva de morfismos $X\to Y$ es uno de los factores que a través de un isomorfismo de X con una subvariedad cerrada de $\mathbb P^n\times Y$, seguido por la proyección $\mathbb P^n\times Y\to Y$. Supongamos que $f:X\to Y$ es cualquier proyectiva de morfismos. Las fibras $f^{-1}(y)$ más de puntos de $y \in Y$ son todos finitos sindicatos de proyectiva las variedades. Por lo tanto, para cualquier conjunto abierto $U\subseteq Y$ que contiene el punto de $y$, el sólo regular las funciones en $\mathscr O_X(f^{-1}(U)) = f_*\mathscr O_X(U)$ son constantes en cada componente de la fibra $f^{-1}(y)$. Por lo tanto $f_*\mathscr O_X$ puede contienen poca información sobre $X$ e $f$, otros que en la mayoría de los conectados los componentes de las fibras. Veremos a continuación que contiene exactamente este información.

Casos donde $f_*\mathscr O_X$ contiene toda la información sobre $X$ como sea posible.

Si $f:X\to Y$ es un mapa de afín variedades, el global de las secciones de $f_*\mathscr O_X$ determine $X$ completely, since then $H^0(Y,f_*\mathscr O_X) = H^0(X,\mathscr O_X)$, and then $X = \mathrm{Spec}h^0(X,\mathscr O_X)$, es la única variedad afín con anillo de coordenadas $H^0(X,\mathscr O_X)$. La generalización de este caso es que de cualquier afín mapa de $f:X\to Y$, desde entonces $X$ puede ser recuperado por la necesidad de unir el análogo de la construcción de $H^0(U,f_*\mathscr O_X)$ para afín a abrir conjuntos de $U\subseteq Y$. Por lo tanto $X$ está totalmente determinado por $f_*\mathscr O_X$ para cualquier afín mapa de $f:X\to Y$, y este es el único caso. I. e. en general $f_*\mathscr O_X$ es siempre un cuasi coherente $\mathscr O_Y$ álgebra, y si queremos para determinar una variedad, como contraposición a un "esquema", es razonable suponer para todos los $U\subseteq Y$ afín abierto, que $f_*\mathscr O_X(U)$ es un finitely generado k álgebra, así como un $\mathscr O_Y(U)$ álgebra. Podemos llamar temporalmente un $\mathscr O_Y$ álgebra "finito de tipo". Por lo tanto si $f:X\to Y$ es cualquier morfismos tal que $f_*\mathscr O_X$ es finito tipo, luego los parches de construcción por encima de los rendimientos no necesariamente $X$, pero una variedad $Z$ y un afín mapa de $h:Z\to Y$ que factores a través de un mapa de $g:X\to Z$ donde $f = h\circ g$, y donde $g_*(\mathscr O_X) = \mathscr O_Z$. En particular, entonces, tenemos un total de $f_*\mathscr O_X = (h\circ g)_*(\mathscr O_X) = h_*(g_*(\mathscr O_X))= h_*(\mathscr O_Z)$. So since $h$ is affine, $f_*\mathscr O_X = h_*(\mathscr O_Z)$ determines not $X$, but $Z$. (Kempf, sección 6.5.)

El caso de un arbitrario proyectiva de morfismos.

Ahora, cuando $f:X\to Y$ es cualquier proyectiva de morfismos, a continuación, $f_*\mathscr O_X$ es coherente $\mathscr O_Y$-módulo, por lo tanto tenemos una factorización de $f$ as $h\circ g:X\to Z\to Y$, donde $h:Z\to Y$ es afín, y donde también se $h_*(\mathscr O_Z) = f_*\mathscr O_X$. A continuación, $h$ es no sólo un afín mapa, pero desde $h_*(\mathscr O_Z)$ es coherente $\mathscr O_Y$-module, $h$ is also a finite map. Moreover $g:X\Z$ es también proyectiva y desde $g_*(\mathscr O_X) = \mathscr O_Z$, puede ser demostrado que las fibras de $g$ están conectados. Por lo tanto, de un arbitrario proyectiva mapa de $f$ factores a través de un proyectiva mapa g) conectado fibras, seguido por un número finito de mapa de $h$. Así, en este caso, el álgebra $f_*\mathscr O_X$ determina exactamente la parte finita $h:Z\to Y$ de % de$f$, cuyos puntos más de $y$ son precisamente los componentes conectados de la fibra $f^{-1}(y)$.

Un corolario de esto es "Zariski la conexión del teorema". Si $f:X\to Y$ es proyectiva y birational, y $Y$ es normal, a continuación,$f_*\mathscr O_X= \mathscr O_Y$, y todas las fibras de $f$ están conectados, ya que en este caso $Z = Y$ en el Stein factorización descrito por encima de. Si suponemos, además, que los $f$ es cuasi finito, es decir, tiene finita fibras, entonces $f$ es un isomorfismo. Más generalmente, si $Y$ es normal y $f:X\to Y$ es cualquier birational, cuasi - finito, de morfismos, a continuación, $f$ es una incrustación en un subconjunto abierto de $Y$ ("Zariski de la la principal teorema' "). Más generalmente aún, cuasi finito de morfismos factores a través de abierto de inclusión y de un número finito de morfismos.

Answer 2

Permítanme tratar de escribir informal, la explicación de por qué (y por qué no) que pudiera tener $f_* \mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y$. Esto es básicamente lo que J. C. Ottem escribió, pero estoy tratando de explicar la razón un poco más filosófico.

Ahora $O_X$ es la sheaf de funciones regulares en $X$. Dado un conjunto abierto $U \subseteq Y$, las secciones $\Gamma(U, f_* \mathcal{O}_X)$ es sólo $\Gamma(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X)$. Para que esto sea visto como incluso un subconjunto de funciones en $U$, sería de esperar que sea constante / bien definidos en los puntos de $U$. Por lo que considerar algunos (cerrado) punto de $z \in U$. Por lo tanto, usted necesita una sección $\sigma \in \Gamma(f^{-1}(U), \mathcal{O}_X)$ a ser constante en la fibra $f^{-1}(z)$. Desde $f$ es adecuada, esta fibra es la correcta, y por lo tanto la única secciones son constantes. Sólo me mintió, por supuesto, la única secciones son las funciones que son constantes en cada componente de la fibra.

Por lo tanto, si usted tiene fibras con varios componentes conectados, entonces usted va a esperar que algunas de las secciones $\sigma$ podría ser capaz de distinguir los componentes conectados, y por lo tanto las secciones de $f_* \mathcal{O}_X$ no puede ser visto como funciones en $Y$.

¿Por qué la normalidad entran en juego? Así, la imagen no es tan simple como lo que acabo de describir. Si un esquema de $Z$ no es normal, y su normalización $Z' \to Z$ es inyectiva/bijective (por ejemplo, la normalización de la cúspide), entonces usted debe ver que la normalización mapa como la inclusión de todas las `funciones algebraicas", que puede ser definida en los puntos.

De hecho, dada cualquier esquema de $Z$ más de una algebraicamente cerrado campo de característica cero, el seminormalization $Z'$ de % de $Z$ puede ser exactamente descrito como `el esquema cuya estructura gavilla tiene todas las funciones que hacen sentido en el cerrado puntos de $Z$."

Este es el punto de vista de seminormalization se describe en: Leahy y Vitulli, Seminormal anillos y débilmente normal variedades. Nagoya Matemáticas. J. 82 (1981), 27-56

Answer 3

Otra cuestión que no ha sido abordado es lo que sucede si $f$ no es la correcta. Usted puede tener la intención de asumir que es, pero también es una pregunta interesante para los que no necesariamente adecuada morfismos. Para el caso, usted podría preguntar: "si $f:X\hookrightarrow Y$ es un espacio abierto de la inserción, cuando se $f_*\mathscr O_X$ ser isomorfo a $\mathscr O_Y$?" También está escrito que "... si $f_*\mathscr O_X$ es una línea de paquete, entonces ...". Cabe señalar que esta es en realidad una fuerte restricción. Por ejemplo, si tienes un genéricamente finito de morfismos que satisface esta, entonces tiene que ser birational.

Para la cuestión de un abrir incrustar la respuesta es relativamente simple. Si el complemento de $X$ en $Y$ tiene un no-vacío codimension $1$ parte $f_*\mathscr O_X$ no es ni coherente, por lo poco que posibilidades hay de que. Si el complemento es de codimension al menos $2$, entonces esta es una condición en las singularidades de $Y\setminus X$, y esencialmente equivalente a $Y$ ser $S_2$ a lo largo de $X\setminus Y$.

Answer 4

Si $f:X\to Y$ es un buen morfismos de noetherian shemes, a continuación, $f_*O_X=O_Y$ dice que las fibras de $f$ están conectados. Esto se deduce de una forma general de Zariski principal del teorema (Hartshorne III.11.3).

Por el contrario, si $Y$ es además de la normal, a continuación, $f_*O_X=O_X$ mantiene. De hecho, hay un Stein de la factorización de la forma $$ X \xrightarrow{f'} Z={\bf Spec} (f_* O_X) \xrightarrow{g} Y $$where $g$ is finite and $f'$ has connected fibers. Furthermore $g_*O_Z=O_Y$ y ${f'}_*O_X=O_Z$. Si las fibras de $f$ están conectados, $g$ debe ser birational (por Hartshorne III.10.3) y es, de hecho, un isomorfismo si $Y$ es normal. De ello se desprende que $f_*O_X=O_Y$ si y sólo si $f$ se ha conectado fibras.