Complejos CW y paracompacidad

Question

Parece que cuando asumimos la "amabilidad" en la teoría de la homotopía asumimos que $X$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, y en la teoría de haces de fibras suponemos que $X$ es paracompacto. ¿Cómo interactúan estos dos? ¿Es cualquier espacio con el tipo de homotopía de un complejo CW paracompacto? (En particular, ¿es $I^I$ paracompacto?)

(Los complejos CW son siempre paracompactos y Hausdorff. Según Milnor ( http://www.jstor.org/stable/1993204 ) un espacio paracompacto que es "equi localmente convexo" tendrá el tipo de homotopía de un complejo CW. También según ese documento, si $X$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW y $K$ es en realidad un complejo finito, entonces $X^K$ tiene el tipo de homotopía de un complejo CW).

Answer 1

$I^I$ es paracompacto. Es un teorema de O'Meara que para $X$ un espacio métrico separable, y $Y$ un espacio métrico, entonces $Y^X$ - con la topología compacto-abierto - es paracompacto. $I$ es ciertamente un espacio métrico separable, por lo que el resultado se mantiene.

En cuanto a tu primera pregunta, dudo que todo espacio del tipo homotópico de un complejo CW sea paracompacto (pero esto es sólo una intuición). Algo así como $\mathbb{R}^{\aleph_2}$ o un espacio vectorial topológico no metrizable de dimensiones similares podría servir, ya que es contráctil, por lo que es del tipo homotópico de un complejo CW.

Edición: Para cualquier conjunto de índices incontables $J$ Considera que $\mathbb{R}^J$ en la topología del producto. No es normal, por lo que no es paracompacto.

Answer 2

Para el hecho de que los complejos CW son paracompactos, creo que la prueba en este libro es mejor que la que he visto en otros lugares:

\\bib{frpi:cst}{book}{
    author={Fritsch, Rudolf},
    author={Piccinini, Renzo~A.},
     title={Cellular structures in topology},
    series={Cambridge studies in advanced mathematics},
 publisher={Cambridge University Press},
      date={1990},
    volume={19},
}