Curva elíptica sobre un esquema es un esquema de grupo?

Question

En Katz artículo p-ádico propiedades de modular los esquemas y las formas modulares en Amberes procedimiento, la siguiente definición de una curva elíptica sobre una base esquema de $S$ se da:

Por una curva elíptica sobre un esquema de $S$, nos referimos a una adecuada suave de morfismos $p: E \to S$, cuya geométricas de las fibras están conectados curvas de género, junto con una sección de $e : S \to E$.

Ahora este es un muy razonable definición, que coincide con la noción usual de una curva elíptica al $S$ es el espectro de un campo. Sin embargo, no parece (a mí) sigue directamente de la definición de que una curva elíptica sobre $S$ debe ser de un esquema de grupo sobre $S$ (obviamente una propiedad deseable que Katz parece tomar como un hecho obvio). Al $S= \text{Spec }k$, entiendo que esto, en esencia, sigue de Riemann-Roch...

Así que, ¿qué principio permite llegar a esta conclusión, en el caso general?

Gracias!

Answer 1

El argumento que permite demostrar que una curvas elípticas definidas como dices es un esquema de grupo, e incluso un conmutativa uno es la construcción de un functorial y natural isomorfismo $E(T) \rightarrow Pic_{E/S}^0(T)$ por cada $S$-esquema de $T$. Esto permite para ver el functor $T \mapsto E(T)$ como un funtor en el grupo, y desde este functor es representable por $E$, esto le da una estructura de esquema de grupo en $E$, que es el que usted está buscando.

Esencialmente este mapa se define como sigue: uno conectado a un punto en $E(T)$, que es un $T$-sección de $E_T$, el invertible gavilla de divisor de esta sección, menos el trivial de la sección $e_T$ (obtenido por cambio de base desde la sección de $e$ que es parte de la definición). Para demostrar que este mapa es un isomorfismo, uno en esencia, se reduce el uso de cambio de base de teoremas para imagen directa en coherente cohomology, para el caso de un campo, donde se convierte en una consecuencia de Riemann-Roch. Tenga en cuenta que, por definición, el trivial de la sección $e_T$ se envía a la trivial gavilla, por lo que el $e$ es el neutro de la sección de el grupo esquema de la estructura en $E$, como se desee.

Por supuesto, hay muchos detalles que lidiar con ese mismo argumento completa, pero esto se hace con gran cuidado en el principio de la (única) el libro de Katz y Mazur.

Answer 2

Este es el N. Katz, B. Mazur, la Aritmética de los Módulos de Curvas Elípticas, Ann. de Matemáticas. Estudios 108, Princeton University Press, Teorema 2.1.2.

Tenga en cuenta que el grupo esquema de la estructura es única por la rigidez de los resultados.

Answer 3

Si me fuera permitido comentario, me gustaría comentar que también se puede probar esto en una más de la abajo-a-tierra de moda por el uso que en cada fibra, incluyendo los genéricos de la fibra, hay una única estructura de grupo con el cero.

Agregado: Para algunas pistas sobre cómo hacer estas cosas (sin el uso de Picard esquemas y similares), a ver Artin la prueba de "Weil teorema" en la sección 2 de: Artin, M. Néron modelos. Aritmética geometría (Storrs, Connecticut, 1984), 213--230, Springer, Nueva York, 1986.