Me parece que mucha gente hace la teoría de la deformación (de esquemas, gavillas, mapas, etc.) en categoría derivada (de una categoría abeliana apropiada). Por ejemplo, el complejo cotangente de un morfismo $f:X\rightarrow Y$ de los esquemas se define como un objeto en la categoría derivada de las láminas coherentes $X$ . Me gustaría entender por qué la categoría derivada es una categoría apropiada para hacer teoría de la deformación. Agradecería que alguien me diera un buen ejemplo o motivación.
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Commodore Jaeger
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Voy a publicar una respuesta a lo que creo que es una pregunta razonable, esperando que alguien más experto mejore esta respuesta. Mis disculpas si esta respuesta es demasiado charlatana.
En primer lugar, una razón muy simple que podría esperar que hay algo como un complejo cotangente y que debería ser un objeto en la categoría derivada de gavillas cuasi-coherentes. Dado un morfismo $f: X \rightarrow Y$ de esquemas (sobre alguna base, que dejo implícita), se obtiene una secuencia exacta correcta de gavillas cuasi-coherentes en $X$ :
$$f^{*}\Omega^{1}_{Y} \rightarrow \Omega^{1}_{X} \rightarrow \Omega^{1}_{X/Y} \rightarrow 0.$$
La experiencia nos ha enseñado que cuando tenemos una secuencia media exacta funtorial, a menudo puede completarse funtorialmente a una secuencia exacta larga que implica "funtores derivados", y en contextos abelianos tal secuencia exacta larga suele estar asociada a una secuencia exacta corta (o triángulo exacto) de complejos de "funtores derivados totales", siendo los complejos bien definidos hasta el cuasi-isomorfismo y, por tanto, objetos de una categoría derivada. Este es el punto de vista semimoderno sobre los funtores derivados, que se puede aprender, por ejemplo, en Methods of Homological Algebra de Gelfand-Manin. La experiencia también ha demostrado que no sólo la cohomología del complejo total de funtores derivados es importante en los cálculos, sino que el propio complejo, hasta el cuasi-isomorfismo, contiene estrictamente más información y a menudo es más fácil trabajar con él, hasta el último momento en que se quiere calcular alguna cohomología.
Una vez que haya visto que esto funciona varias veces (por ejemplo, para las secciones globales, para $Hom$ y para $\otimes$ ), cabe preguntarse si existe un functor derivado total de $\Omega^{1}$ Llámalo $\mathbb{L}$ que, entre otras cosas, produce un triángulo exacto
$$f^{*}\mathbb{L}_{Y} \rightarrow \mathbb{L}_{X} \rightarrow \mathbb{L}_{X/Y}$$
tal que la secuencia exacta larga de las láminas de cohomología comienza con la secuencia exacta original de la derecha.
Si crees que algo así debe ser útil, entonces puedes intentar construirlo. Una forma de hacerlo consiste en interpretar $\Omega^{1}$ como representación de derivaciones que a su vez corresponden a extensiones cuadradas-cero, y aquí es donde entra la teoría de la deformación. Así que uno podría empezar a preguntarse qué deberían ser las "extensiones cuadradas-cero derivadas", y podría adivinar que debería intentar extender no sólo por módulos, sino por complejos acotados por encima de los módulos. Cuando se hace esto, tal extensión cuadrada-cero se convierte no sólo en un álgebra conmutativa sino en algún tipo de versión derivada de la misma, como un álgebra conmutativa simplicial. En estos términos, el complejo cotangente $\mathbb{L}$ de un álgebra conmutativa resulta ser nada más que diferenciales de K\"ahler de una resolución apropiada de nuestra álgebra conmutativa en el mundo de las álgebras conmutativas simpliciales. Siguiendo esta idea y averiguando cómo debería funcionar la descendencia se llega, tras una larga canción y baile, a la deseada teoría del complejo cotangente.
Una vez que se establece todo esto, queda claro que no había ninguna razón para limitarse a las álgebras conmutativas clásicas a la hora de establecer la geometría algebraica, sino que se podría haber trabajado con álgebras conmutativas simpliciales para empezar, y esto conduce a la "geometría algebraica derivada". En cierto sentido, éste es el lugar natural para entender el complejo cotangente, y aquí la cohomología superior del complejo cotangente tiene una interpretación geométrica natural.
También hay que señalar que el punto de vista de Quillen sobre el complejo cotangente era como una teoría de homología para álgebras conmutativas (búsqueda de la homología de Andre-Quillen), que en un sentido preciso es un análogo de la homología habitual de un espacio topológico. Esto se describe en el último capítulo del Álgebra Homotópica de Quillen y también se discute en el libro de Goerss-Schemmerhorn Model Categories and Simplicial Methods.
En resumen. La teoría de la deformación trata de las extensiones cuadradas-cero (así como de otras extensiones infinitesimales más generales). Las diferenciales de Kahler representan derivaciones que a su vez corresponden a extensiones cuadradas cero. Para cada morfismo de esquemas $X \rightarrow Y$ existe una secuencia exacta natural que involucra a las diferenciales de K\"ahler, que sería útil completar con una secuencia exacta larga. Y aún mejor, nos gustaría que esta secuencia exacta larga viniera de un triángulo exacto de objetos en la categoría derivada de las láminas cuasi-coherentes. La realización de este objetivo conduce naturalmente a la geometría algebraica derivada u homotópica.
TimM
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Quizás una forma de leer esta pregunta es "¿Por qué es importante pensar en complejos cuando se hace teoría de la deformación?". Ciertamente hay que aceptar que la teoría de la deformación es de naturaleza cohomológica: consideremos la construcción estándar de Čech de las clases en $H^1(X, T_X)$ y $H^2(X, T_X)$ que corresponden respectivamente a las deformaciones y a los obstáculos a las deformaciones de un esquema suave $X$ o considerar las deformaciones de una incrustación regular $X \rightarrow Y$ que están parametrizados por $H^0(X, N_{X/Y})$ y obstruido por $H^1(X, N_{X/Y})$ .
Permítanme recordar los argumentos que dan lugar a estas clases. Localmente un esquema suave tiene una sola deformación hasta el isomorfismo, por lo que las deformaciones globales surgen de pegar las locales; los datos de pegado provienen del haz tangente, por lo que las deformaciones se clasifican por $H^1(X, T_X)$ . Del mismo modo, las soluciones a un problema de deformación obstruida existen localmente y son localmente únicas hasta el isomorfismo, por lo que la obstrucción proviene del encolado. Se escribe la condición de encolado y se observa que es una Čech $2$ -ciclo (u observa directamente que las deformaciones forman un gerbo...).
El argumento para una incrustación regular es similar. Primero se da una construcción directa para la identificación de $H^0(X,N_{X/Y})$ y las deformaciones de la incrustación; entonces se demuestra que no hay obstrucciones locales, por lo que las obstrucciones globales surgen enteramente del encolado, y esto da un ciclo 1 de Čech con valores en $N_{X/Y}$ .
¿Y un problema de deformación más general? Por ejemplo, supongamos que $X$ es una intersección completa local. Una gran parte de los argumentos anteriores pasa sin modificación: localmente, las deformaciones de una intersección completa local no tienen obstrucciones, por lo que las obstrucciones deberían provenir del encolado. Uno debería ser capaz de producir un cocycle Čech que obstruya la existencia de una deformación global. Pero un cocycle valorado en qué?
La respuesta es el complejo tangente (desplazado) (dual al complejo cotangente mencionado en otra respuesta). Se trata de un complejo en grados $[0,1]$ que coincide con $T_X$ si $X$ . El complejo tangente relativo de una incrustación regular $X \rightarrow Y$ es $N_{X/Y}[-1]$ . De este modo, el complejo tangente recupera los dos casos especiales que se han comentado anteriormente.
Para una intersección completa $X$ en un esquema suave $Y$ el complejo tangente de $X$ puede construirse como $[T_Y \vert_X \rightarrow N_{X/Y}]$ . Si $X$ es sólo una intersección completa local, entonces esta construcción funciona localmente en $X$ pero no se va a pegar a algo global. Sin embargo, la construcción local es cuasi-isomorfa a la restricción de algo global. Por fin aparece la categoría derivada.
Todo esto se generaliza enormemente con el complejo cotangente, que funciona igual que el anterior para esquemas arbitrarios, sin la restricción lci. Puedes leer más sobre esto en la respuesta de Chris Brav.
Alphager
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No conozco la teoría de la deformación general (si es que existe), así que hablaré del caso especial que conozco, es decir, las variedades de representación $R=Hom(\pi,G)$ de representaciones de grupos finitamente generados $\pi$ a un grupo de Lie $G$ . En este caso, como en algunos otros, cada germen analítico $(R,r)$ de $R$ considerado como el "espacio de deformación" de $r$ está completamente determinado por un control del álgebra de Lie graduada diferencial (dgla) $A^\bullet$ . A dgla $A^\bullet$ es un cierto complejo de cadena dotado de una operación binaria llamada Soporte de la mentira que satisface ciertos axiomas. La razón de la aparición de las dgla en el contexto de las variedades de representación $R$ es el hecho básico de que las representaciones de los grupos generados finitamente pueden identificarse con holonomías de conexiones planas sobre haces apropiados, que, a su vez, se describen mediante formas diferenciales con coeficientes apropiados. Para las formas diferenciales se tiene tanto el diferencial exterior como un soporte, que proviene del soporte del álgebra de Lie de $G$ Por lo tanto, se obtiene una dgla.
Entonces, hay un teorema básico observado por Deligne, pero que se remonta al trabajo anterior de Schlessinger y Stasheff:
Teorema de equivalencia . Un isomorfismo débil de dglas induce un isomorfismo de gérmenes analíticos de espacios de deformación.
Una demostración de este teorema (en el contexto general de los dglas, no sólo para los correspondientes a las variedades de representación) puede encontrarse en este trabajo "La teoría de la deformación de las representaciones de los grupos fundamentales de las Manifolds", Publ. Math. I.H.E.S., 67(1988) por Goldman y Millson. La carta original de Deligne puede encontrarse aquí .
Definición . Dos dglas $A^\bullet, B^\bullet$ son débilmente isomorfo si existe un morfismo $f: A^\bullet \to B^\bullet$ que induce un isomorfismo en el nivel de $H^0, H^1$ y un epimorfismo a nivel de $H^2$ .
Esto, por supuesto, es válido si $f$ induce un isomorfismo de todos los grupos de cohomología, es decir, es un cuasi-isomorfismo de dglas. Esto significa que la categoría derivada de dglas es el marco natural para la teoría de la deformación siempre que esté determinada por dglas, ya que se pueden expoit secuencias $$ A^\bullet \rightarrow B^\bullet \leftarrow C^\bullet \rightarrow D^\bullet \ldots $$ de cuasi-isomorfismos (o equivalencias débiles) de dglas para "computar" gérmenes de espacios de deformación. Esto es exactamente lo que hicieron Goldman y Millson en su artículo (con un seguimiento de Simpson) para demostrar que las singularidades de las variedades de representación de los grupos de Kaehler son cuadráticas.
La razón intuitiva de la Teorema de equivalencia es que $H^1$ describe deformaciones infinitesimales mientras que $H^2$ describe obstáculos a la integrabilidad de todos los órdenes para las deformaciones infinitesimales (ambas observaciones se remontan, creo, al trabajo de Kodaira y Spencer). En particular, si las deformaciones infinitesimales y todas las obstrucciones coinciden, se obtiene un isomorfismo analítico de los gérmenes. El isomorfismo es meramente analítico ya que hay que tratar con series de potencias infinitas, ya que hay que matar obstrucciones de infinitos órdenes. Ocasionalmente, tras una reparametrización analítica del germen, sólo hay una obstrucción (la primera), como en el teorema de Goldman y Millson (en este caso, el problema de deformación es formal ), pero esto es un poco un milagro, viniendo de la geometría de Kaehler.
Adenda: Después de ver este de Lurie enlazado en la respuesta de David a otra pregunta (véase el comentario de David), veo que todo Los problemas de deformación, al menos a nivel de vecindades formales, están determinados por algunas dglas. Esto es algo de lo que no me había dado cuenta antes; supongo que nunca pienso en las matemáticas en este grado de abstracción. Sin embargo, me sorprendió que Lurie no mencionara la carta de Deligne y el artículo de Goldman y Millson, tal vez las variedades de representación no aparezcan entre los problemas de deformación en los que estaba pensando.
