Relación De Rham cohomologies

Question

que yo sepa, hay dos formas principales de un pariente de la versión de De Rham Cohomology un par (M,N), donde M y N son lisas, colectores y N es un sistema cerrado (como un subespacio topológico) submanifold de M:

1) Godbillon, Elementos de topologie algébrique: $\Omega^p(M,N)$ es el espacio de todas las formas en $M$ cuya restricción a $N$ es cero. Esta es una subalgebra de $\Omega^p(M)$, por lo que define un cohomological espacio de $H^p(M,N)$.

2) Bott-Tu, formas Diferenciales en topología algebraica: este veces, $\Omega^p(M,N)=\Omega^p(M)\oplus \Omega^{p-1}(N)$ con diferencial $d(\omega,\theta)=(d\omega,i^*(\omega)-d\theta)$ donde $i:N\to M$ es la inclusión.

¿Estos dos cohomologies dar los mismos resultados? De lo contrario, se relacionan y cómo se relacionan?

Bott y de Tu párrafo sobre la relación De Rham cohomology es muy corto. ¿Alguien sabe una buena referencia sobre este tema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Un mapa de la cadena de $\Theta$ desde el Godbillon la teoría a la Bott-Tu versión está dado por $\omega \mapsto (\omega,0)$ (tenga en cuenta que es una cadena de mapa sólo en $\Omega^{p} (M;N)_{G}$). Me dicen que este induce un isomorfismo en cohomology. Un par de casos especiales es obvio: si $N=\emptyset$, ambas teorías están de acuerdo con la absoluta de Rham de la teoría. Si $N \to M$ es un homotopy de equivalencia, las dos teorías son triviales por el largo exacto de secuencias y homotopy la invariancia de la teoría absoluta.

Para el caso general, elegir un tubular vecindario $U$ de % de$N$. Usted obtener corto exacta de las secuencias de los complejos de la cadena (en ambos casos)

$$ 0\a \Omega (M;N) \a \Omega(U, N) \oplus \Omega (M-N) \a \Omega (U-N) \a 0 $$

(exactitud se comprueba por medio de una partición de la unidad), y $\Theta$ compara el corto exacta de las secuencias. El asociado (Mayer-Vietoris) secuencia exacta y el $5$-lema concluye la prueba.

Answer 2

El hecho de que el DeRham cohomology de $M$ calcula el singular cohomology es un reflejo del hecho de que la cohomology de una gavilla (en este caso la constante gavilla $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$ $\underline{\bR}$ más de $M$) puede ser calculada mediante el uso de cualquier (suave, blando) la resolución de esta gavilla. La geometría aparece cuando somos capaces de producir un concreto de dicha resolución, en su caso, el DeRham resolución.

Por lo tanto, una pregunta apropiada sería si el pariente cohomology se podría dar un sheaffy descripción.

La respuesta es sí. Si $\newcommand{\eS}{\mathscr{S}}$ $\eS$ es una gavilla de Abelian grupos en $M$ e $Z\subset M$ es un cerrado subconjunto, entonces denotamos por $\eS_Z$ la `restricción" de $\eS$ a $Z$ extendido por $0$ fuera. Quiero hacer hincapié en que $\eS_Z$ es una gavilla en $M$: su tallo en $x\in M$ es $\eS_x$ si $x\in Z$, e $0$ lo contrario. Tenemos una natural surjective de morfismos

$$ r:\eS\to\eS_Z $$

Se denota su núcleo por $\eS_{M\setminus Z}$.Por lo tanto, obtener una breve secuencia exacta de las poleas

$$ 0\to\eS_{M\setminus Z} \to \eS\to\eS_Z\to 0. $$

Esto conduce a una secuencia exacta en cohomology

$$ \cdots \H^\bala(M,\eS_{M\setminus Z})\H^\bala(M,\s)\H^\bala(M,\eS_Z) \stackrel{+1}{\a}\cdots $$

Al $\eS=\underline{\bR}$ es la constante de gavilla en $M$ con tallo $\bR$ entonces $H^\bullet(M,\underline{\bR})$ es la singular cohomology de $M$, $H^\bullet(M,\underline{\bR}_Z)$ es el cohomology de $Z$ e $H^\bullet(M,\underline{\bR}_{M\setminus Z})$ es la (relativa) cohomology de los par $(M,Z)$.

Usted puede obtener las dos descripciones de este hecho por sí solo (el de Bott-Tu requiere, además, el cono de la construcción). Me refiero a Iversen del libro Cohomology de las poleas.