Bijection de $\mathbb R$ $\mathbb {R^N}$

Question

¿Cómo crear una explícita bijection de los reales para el conjunto de todas las secuencias de reales? Sé cómo hacer que un bijection de $\mathbb R$ $\mathbb {R \times R}$.

Tengo una idea pero no estoy seguro de si funcionará. La publicaré en mi propia respuesta, porque no quiero anclar sus respuestas y quiero ver qué otras formas posibles de hacer esto.

Answer 1

El mejor truco en el libro para encontrar un bijection entre el$\mathbb R$$\mathbb{N^N}$, en este caso, estamos prácticamente hecho. Por qué?

$$\mathbb{(N^N)^N\sim N^{N\times N}\sim N^N}$$

Y el bijections arriba son fáciles de calcular (voy a dejarlo para usted, la primera bijection es un simple Alarmada, y para el segundo se puede utilizar el Cantor de la función de sincronización).

Así que, si podemos encontrar un buen bijection entre el real en los números de las secuencias infinitas de números naturales estamos a punto de hacer. Ahora, sabemos que $\mathbb{N^N}$ pueden ser identificados con los números reales, en el hecho de fracciones continuas formar un bijection entre el irrationals y $\mathbb{N^N}$.

Lo primero que necesitamos para manejar los números racionales, pero que no es muy difícil. Tomar una enumeración de los racionales (por ejemplo, Calkin-Wilf árbol) en $(0,1)$, supongamos $q_i$ $i$- th racional en la enumeración; ahora podemos tomar una secuencia de irrationals, por ejemplo,$r_n = \frac1{\sqrt{n^2+1}}$, y definimos la siguiente función:

$$h(x)=\begin{cases} r_{2n} & \exists n: x=r_n\\ r_{2n+1} & \exists n: x=q_n \\ x &\text{otherwise}\end{cases}$$

Ahora por fin podemos describir una lista de bijections que, cuando compone, nos dan un bijection entre el$\mathbb R$$\mathbb{R^N}$.

1. $\mathbb{R^N\to (0,1)^N}$ por cualquier bijection de este tipo.
2. $\mathbb{(0,1)^N\to \left((0,1)\setminus Q\right)^N}$ por la codificación dada por $h$.
3. $\mathbb{\left((0,1)\setminus Q\right)^N\to \left(N^N\right)^N}$ por fracciones continuas.
4. $\mathbb{\left(N^N\right)^N\to N^{N\times N}}$ por Alarmada.
5. $\mathbb{N^{N\times N}\to N^N}$ por una función de sincronización.
6. $\mathbb{N^N\to (0,1)\setminus Q}$ por la decodificación de las fracciones continuas.
7. $\mathbb{(0,1)\setminus Q\to (0,1)}$ por el desciframiento de $h$, es decir,$h^{-1}$.
8. $\mathbb{(0,1)\to R}$ por cualquier bijection de este tipo, por ejemplo, la inversa de la bijection utilizada para el primer paso.

Answer 2

NOTA: Esto no funciona

En primer lugar, mapa de todos los $\mathbb R$s a $(0,1)\backslash \mathbb Q$. A continuación, para cada secuencia de irrationals de 0 a 1, se configura en una cuadrícula con como tales:

$$s_1 = 0.d_{11}d_{12}d_{13}d_{14}d_{15}... \\ s_2 = 0.d_{21}d_{22}d_{23}d_{24}d_{25}... \\ s_3 = 0.d_{31}d_{32}d_{33}d_{34}d_{35}... \\...$$

Y tomar el nuevo número irracional tomando cada diagonal, de manera similar a cómo crear un bijection de los racionales a los naturales. Que es:

$$r = 0.d_{11} \; d_{21}d_{12}\; d_{31}d_{22}d_{13} \; d_{41}d_{32}d_{23}d_{14}...$$

Ahora bien, este mapa para cada irracional? No estoy seguro. ¿Este mapa a cualquier racionales, estoy bastante seguro de que no. Si r se repiten, creo que podría hacer que la fila superior de repetición. No estoy seguro de cómo probar esto aunque.

Por qué esto no funciona: Considere el $r= 0.101001000100001....$. Este es irracional y es únicamente asignada por $s_1 = 0.111111$ $s_n = 0.0000...$ para todos los otros n (y 0 no es ni siquiera en nuestro set para empezar...).

Answer 3

Es suficiente para la configuración de la inyección de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Resto del trabajo será realizada por la inclusión de mapas y Cantor Berstein Schoredor Teorema. También desde $(0,1)$ es homeomórficos a $\mathbb{R}$ sólo lo suficiente para mostrar la inyección de $(0,1)^2 \to (0,1)$. Ahora cada número, excepto de la forma $\frac{m}{2^n}$ tiene una única representación binaria ya que aquellos no pueden ser representados en lo finito. Ahora vamos a algunos $x=\frac{n}{2^m}$ en decimal es de la forma $x=.a_1a_2....a_n000000......$. Y así su binario de expansión termina sólo con ceros. Ahora considere binario de expansión de $x=.a_1a_2...(a_n-1)99999.....$ nunca termina en tan sólo ceros. Ahora siguiendo este método de enviar algunos de $(x,y)\in (0,1)^2 \to [x,y]\in (0,1)$ como sigue. Primer cambio binario expansión tanto de $x,y$ en la expansión que nunca termina en ceros (si es necesario). Ahora si $x=.x_1x_2......,y=.y_2y_2.....$, a continuación, defina $[x,y]=.x_1y_1x_2y_2.....$. La primera de todas las $[x,y]$ es única, ya que como por el envío de $[x,y]$ nunca es de de $\frac{n}{2^m}$, y la singularidad demuestra bien defindness y la inyección de $f$ que envía a $(x,y) \to [x,y]$