Es allí cualquier holomorphic versión de la pieza tubular barrio teorema?

Question

Esta pregunta surge cuando estaba estudiando Beauville libro del Complejo de Superficies Algebraicas'.

Castelnuovo del teorema dice que un suave racionales de la curva de $E$ sobre una superficie algebraica $S$ es un excepcional de la curva de iff $E^2=-1$. La prueba en Beauville del libro es encontrar una muy amplia divisor $H$ satisfacción $H^1(S,\mathcal{O}_S(H))=0$ primero, y, a continuación, establezca $H'=H+kE$ donde $k=H\cdot E$. El sistema lineal de $H'$ da un proyectiva de morfismos de $S$ a $\mathbb{P}^n$ que los contratos de $E$, y, a continuación, algunos topológico argumentos implica que la imagen de $S$ es realmente suave.

Aunque esta prueba no es difícil de entender, todavía quiero una prueba basada en complejos colectores, pero no de la geometría algebraica.

Pregunta: ¿hay alguna holomorphic versión de la pieza tubular barrio teorema?

Tengo varias razones para plantear esta pregunta:

1. Si tenemos algo de holomorphic tubular barrio teorema, podemos identificar algunas vecindario $U$ de % de $E$ en $S$ con vecindario $V$ de la sección cero en $N_E$. Aquí $N_E$ es el holomorphic normal paquete de $E$. A continuación, $E^2=-1$ fácilmente implica $N_E\cong\mathcal{O}_{E}(-1)$, lo $E$ puede ser contratado en $U$ directamente. Así, no sólo demostrar Castelnuovo del teorema, pero también generalizar a la no-superficies algebraicas.

2. Existe una simpléctica versión de la pieza tubular barrio teorema, así que supongo que la holomorphic caso también es cierto.

Cualquier respuesta o comentarios son bienvenidos. Yo realmente aprecio su ayuda.

Answer 1

Por desgracia, el tubular barrio teorema no es cierto en general en el holomorphic contexto. Para ver la obstrucción, considere la secuencia exacta de holomorphic vector de paquetes de más de $E$: $0\to TE\to TS|_E \to NE \to 0$. Si nosotros tenemos un holomorphic la incrustación de un barrio de la sección cero de $NE$ a $S$, en particular, nos gustaría obtener una división de esta secuencia exacta. La obstrucción de hacerlo es una clase en $Ext^1(NE,TE)$, como puede verse por la aplicación de la izquierda-functor exacto $Hom(NE,\cdot)$ y que se extiende sobre el derecho a una secuencia exacta.

Para ser más explícitos, deje $q:TS|_E\to NE$ el valor del cociente de mapa, y considere los siguientes términos de la larga secuencia exacta $Hom(NE,TS|_E) \to Hom(NE,NE) \to Ext^1(NE,TE)$. El primer mapa se $f:NE\to TS|_E$ y compone con $q$ para obtener un mapa de $NE$ a sí mismo, y el segundo es el coboundary mapa de $\delta :Hom(NE,NE)\to Ext^1(NE,TE)$. Por definición, $f$ es una división de la breve secuencia exacta de arriba, si y sólo si $qf$ es el mapa de identidad en $NE$. Por exactitud, ese $f$ existe si y sólo si $\delta(id_N)=0$, por lo que esta clase es la obstrucción; puede o puede no ser fácil de calcular en cualquier ejemplo. (en la última ecuación, "N" significa "NE"... yo no podía conseguir que componen correctamente)

También, aunque yo no soy un experto, es mi entendimiento de que hay una construcción conocida como "la deformación de la normal de cono", que permite obtener en torno a la quiebra de la holomorphic tubular barrio teorema de mis situaciones. En particular, he oído que es a menudo útil en la intersección de la teoría, por lo que puede tener algo que ver con el problema que usted describe en su pregunta.

Answer 2

Esta respuesta es bastante tarde, pero una versión de un holomorphic tubular barrio teorema queda demostrado en: "H. Grauert, Uber Modifikationen und exzeptionelle analytische Mengen, Matemáticas. Ann. 146 (1962), 331-368". Específicamente, en la página 363, el corolario al teorema 7 se dice que si $A\subset X$ es un pequeño complejo submanifold para que $H^1(A,TA\otimes (N^\ast)^\nu)=H^1(A,(N^\ast)^\nu)=0$ para todos los $\nu\geq1$, entonces un barrio de $A$ en $X$ es biholomorphic un barrio de $A$ en el total de espacio normal de su paquete.

Answer 3

Para empezar con algo positivo, es cierto que cada vez que tienen un $\mathbb CP^1$ negativo auto-intersección de una superficie compleja que tiene un estándar de holomorphic barrio.

Por otro lado, la comparación en 2) entre simpléctica y de geometría compleja no es correcto a menos que usted considere $2$-esferas con el negativo de la auto-intersección en simpléctica $4$-colectores.

Es decir, en geometría simpléctica cada vez que tenemos una simpléctica submanifold $N^{2k}$ en un simpléctica colector $M^{2n}$ un simpléctica barrio de $N^{2k}$ siempre es estándar. I. e. un barrio sólo depende del tipo de casi compleja estructura en la normal de paquete a $N^{2k}$. Por otro lado en la compleja geometría de la existencia de un estándar de vecindad es extremadamente raro, especialmente si el paquete normal de $N^{2k}$ en $M^{2n}$ no es negativo.

Ejemplo. Considere la posibilidad de un suave quadric $Q$ en $\mathbb CP^n$ y vamos a mostrar que su barrio no es byholomorphic un barrio de la sección cero de la $O(4)$ paquete de más de $Q$. De hecho, si este fuera el caso, uno sería capaz de darse cuenta de la normal de paquete a $Q$ en $\mathbb CP^n$ como holomorphic sub-bunlde $N$ de % de $T\mathbb CP^n$ restringido en $Q$. Pero la tarde es imposible. De hecho, en esta donde sea posible a través de cada punto de $Q$, uno sería capaz de dibujar una línea que sería tangente a esta sub-paquete de $N$. Una familia de líneas de generaría una involución de $Q$ sin punto fijo, lo cual es absurdo.

Answer 4

Tubular barrios puede dejar de existir en un sentido fuerte: puede suceder que, dada una completa liso subvariedad $X$ de un suave compleja variedad $V$, no hay ningún barrio (en la clásica topología) de $X$ en $V$ que posee un holomorphic retracción en $X$. Por ejemplo, tome $V$ a ser el plano proyectivo y $X$ a ser una curva suave de grado, al menos,$3$; en cualquier vecindario $U$ de % de $X$ en $V$ hay perturbaciones $X'$ de % de $X$ que no son isomorfos a $X$ (en el caso de grado $3$ tendrán desiguales $j$-invariante), mientras que cualquier retracción de $U$ a $X$ daría un mapa de $X'\to X$ grado $1$, por lo que un isomorfismo.

Answer 5

La existencia de tubular barrios es una muy fuerte restricción en submanifolds de espacio proyectivo. Un teorema de la Mañana y Rossi (de Matemáticas. Ann. De 1978, si puedo encontrar un enlace gratuito voy a adjuntar) dice lo siguiente: Supongamos $X$ está conectado a un holomorphic submanifold de ${\Bbb P}^n$ que tiene un holomorphic tubular barrio. A continuación, $X$ es un subespacio lineal. (También demostrar una declaración similar para submanifolds de complejo de tori.)