Grupo Fundamental de un topológico pullback

Question

Este debería ser un problema elemental en topología algebraica que casi me da vergüenza preguntar, pero aquí va.

Deje $f: X\to Z$ ser un surjective fibration, y deje $g: Y\to Z$ ser cualquier mapa. Suponga que todos los espacios están trayectoria-conectado, y los puntos de base de $x,y,z$ elige de modo que $f(x)=g(y)=z$. Forma el retroceso en la categoría topológica, $$ \begin{array}{ccc} E & \to & X \newline \downarrow & & \downarrow \newline Y & \to & Z. \end{array} $$

Tenga en cuenta que $E$ no será necesario trayectoria-conectado.

Es posible expresar $\pi_1(E,e)$ para una determinada elección de la base del punto de $e\in E$, en términos de $f_\sharp: \pi_1(X,x)\to \pi_1(Z,z)$ e $g_\sharp: \pi_1(Y,y)\to \pi_1(Z,z)$?

Answer 1

Hay un `Mayer--Vietoris" secuencia $$\cdots \to \pi_2(Z, z) \to \pi_1(E, e) \to \pi_1(X, x) \times \pi_1(Y, y) \to \pi_1(Z,z) \to \pi_0(E) \to \cdots$$ que puede ser desarrollado por armar las 4 de largo exacto de secuencias de homotopy grupos obtenidos a partir de los 4 mapas en su diagrama.

Con $X \simeq Y \simeq *$ y $Z=S^2$, $E \simeq \Omega S^2$ tiene grupo fundamental de la $\mathbb{Z}$, mientras que $X$, $Y$ y $Z$ simplemente están conectados, por lo que no puede expresar $\pi_1(E)$ únicamente en términos de los grupos fundamentales de los demás espacios.

Answer 2

Expresado en términos de la homotopy pullback $N(f,g)$ de un par de mapas basados $f\colon X\longrightarrow A$ e $g\colon Y\longrightarrow A$, el largo de la secuencia exacta es Corolario 2.2.3 de Mayo y Ponto `Más concisa topología algebraica". El resultado de la cual es una corolario de la Proposición 2.2.2, se describe la punta de la serie de mapas basados $[Z,N(f,g)]$ para cualquier basado en el espacio $Z$. El doble resultado de homotopy pushouts es la Proposición 2.1.2. El corolario es utilizado en gran medida en el estudio de la fractura de teoremas para la localización y terminar más adelante en el libro.

Answer 3

Eche un vistazo a

(R. Brown, P. R. Heath y H. Kamps), "Groupoids y la Mayer-Vietoris secuencia", J. Pure Appl. Alg. 30 (1983) 109-129.

Una de Mayer-Vietoris secuencia para una retirada de una cubierta de mao también aparece en la Sección 10.7 de la Topología y de la Groupoids, y fue en el 1988 (nombran de manera diferente) edición.

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Edit: he Aquí un extracto de la por encima de papel

(fuente)

lo que muestra que hay algo más de información a partir de la secuencia que sólo la habitual secuencia exacta. Esta secuencia se aplica a espacios, como se muestra en la Sección 4 del documento mencionado. El punto es que esta detallada la exactitud es más fácil de extraer en el groupoid modelo de directamente en la topología.