Ejemplos de no-abelian grupos, que surgen en la naturaleza sin ninguna acción natural

Question

Se dice que la mayoría de los grupos surgen a través de sus acciones. Por ejemplo, los grupos de Galois surgir en la teoría de Galois como automorfismos de campo extensiones. Lineal de los grupos surgen como automorfismos de espacios vectoriales, de permutación de grupos surgen como automorfismos de conjuntos, y así sucesivamente.

Por otro lado, abelian grupos a menudo surgen sin ningún naturales (o, al menos, obvio) acción-los "grupos de la clase", tales como el ideal en el grupo de clase y Picard grupo, así como de los diversos grupos de homología y de mayor homotopy grupos en la topología, son algunos ejemplos. [AÑADIDO: Uno (descuidado?) forma de decirlo es que abelian grupos surgen muy a menudo para "contabilidad" a los efectos de, donde pensamos de ellos simplemente como formas más eficientes para almacenar los invariantes, y sus acciones no son obvias y no es necesario para la mayoría de sus aplicaciones básicas.]

¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de no-abelian grupos que surgen sin ninguna acción natural? O, en la forma en que el grupo se define no parecen indicar cualquier acción natural, aunque puede haber una acción al acecho en algún lugar? La única prima facie ejemplo yo podía pensar era en el grupo fundamental de un espacio topológico, pero como sabemos de cubrir el espacio de la teoría, por la amabilidad de los espacios (localmente trayectoria-conectado y semilocally simplemente conectado), el grupo fundamental es el grupo de la cubierta de las transformaciones en el universal que cubre el espacio.

Esto podría ser algo relacionado con la cuestión planteada aquí: ¿por Qué los grupos y abelian grupos se sienten tan diferentes?.

Para aclarar: sin duda Hay un montón de maneras de construir los grupos dentro del grupo de teoría (o el uso de las herramientas de la teoría de grupos, que incluye varios tipos de semidirect y libre de productos, presentaciones, etc.) donde no hay acción natural. Estos ejemplos son de interés, pero lo que más me interesa es el caso de que tales grupos se parecen surgir plenamente formado a partir de algo que no es teoría de grupos, y hay al menos no de manera inmediata de ver una actuación del grupo que ilumina lo que está sucediendo.

Answer 1

Aquí están algunos ejemplos.

Los revestimientos de la matriz de grupos

$SL_2(R)$ actúa de forma natural en el avión, pero su cobertura universal no es una matriz del grupo, y no es obvio acción natural que usted puede utilizar para definirlo.

Unidades en los campos y álgebras de

El conjunto de los cuaterniones de una norma no es de abelian grupo que se define sin referencia a una acción específica. Puede ser identificado con $SU_2(C)$, pero la identificación se realiza a través de un número de la no canónica de decisiones. De manera más general, spin grupos que se usan en la física surgir naturalmente de álgebras de Clifford.

Los grupos definidos en el uso de generadores y relaciones

Trenza de grupos, el Baumslag-Solitar grupo (en el que se admite ningún fiel finito dimensionales de la representación), generalmente se definen de esa manera. La construcción de las acciones de estos grupos en algunas espacio geométrico (por ejemplo, sobre el correspondiente grafo de Cayley) es una forma de entender a estos grupos, pero este no es el único. Este es el objeto geométrico de teoría de grupos.

Answer 2

Voy a describir algunas estrategias generales para la construcción (nonabelian) grupos sin referirse a ellos como simetrías de algo. Si los ejemplos que surgen "en la naturaleza" o que ciertas acciones son "naturales" a veces es discutible - esto es una ambigüedad en la pregunta de que pueden ser difíciles de eliminar. Creo que para los fines de esta discusión, regular las representaciones no deben calificar como "naturales" de las acciones, incluso a pesar de que son bastante naturales.

Extensiones de otros grupos: Dados dos grupos de $H$ e $K$, elegir algún grupo que encaja en una secuencia exacta $1 \to H \to G \to K \to 1$ mediante la especificación de algún dato, homológica o de otra manera. Se puede afirmar que $G$ actúa sobre el espacio total de un determinado $H$-torsor sobre $K$, o en algunos inducida por la representación de $H$, pero este parece acercarse a regular las representaciones. De todos modos, los ejemplos incluyen:

1. Central extensiones de los grupos lineares, sugerido por coudy. La "natural" suelen tener acciones naturales en espacios de infinitas dimensiones (cf. Weil representación), por lo que escoger un ejemplo que cumple las condiciones de la pregunta podría ser espinoso.
2. Cadena de grupos (3-conectado extensiones de compacto simple Mentira grupos por $K(\mathbb{Z},3)$), sugerido por Allen. Usted puede razonablemente afirmar que estos grupos de forma natural de actuar en las categorías que aparecen en la WZW modelo, tales como el módulo de categorías de ciertas vértice álgebras, pero no es obvio si sólo se vieron puramente topológico de la construcción.
3. Aleatoria finita $p$-grupos, por ejemplo, construido por el campo, tomando valores de puntos en afirmar extensiones de longitud finita de vectores de Witt grupos. La mayoría de los grupos finitos parecen tener esta forma.
4. Finito perfecto grupos - no muy bien comprendido fuera de los simples grupos y sus extensiones.

Los cocientes de grupos grandes normal subgrupos: Tomar un cociente tiende a destruir una acción. Ejemplos:

1. Gratis de grupo y empezar a tirar de las relaciones. Sí, este es el grupo de simetrías de un cierto 2-complejo, pero que el 2-complejo está construido fuera del horario regular de la representación. He mencionado los grupos definidos por las presentaciones y automática de grupos en una versión anterior de esta respuesta, y se adapta muy bien.
2. Tomar un mayor categoría de grupo y de considerar su $\pi_0$. El invertible objetos en una categoría monoidal $\mathcal{C}$ formar un 2-grupo, y sus clases de isomorfismo forma el grupo de Picard. Mariano se menciona en los comentarios que este grupo actúa de forma natural en la categoría en un sentido débil, pero el honesto simetrías son dadas como una central de extensión del grupo de Picard por $B(\operatorname{Aut} 1)$

Propiedades intrínsecas: no tengo un buen ejemplo de esto, pero en principio, podría tratarse de un grupo en la naturaleza que fue definida únicamente por algunos bienes, pero no es una acción natural que surja de dicha propiedad. Uno podría argumentar que algunos de los finitos simples grupos construidos en el programa de clasificación fueron "encontrados" por la búsqueda a través de las posibles centralizadores de involuciones y deducir el consecuente propiedades, pero al final, casi todos los grupos fueron explícitamente construido por la visualización de los mismos como la simetría de los grupos de combinatoria o lineales algebraicas objetos. Uno podría argumentar que algunas de las construcciones dado computacionalmente por explícita la generación de matrices (por ejemplo, algunos Janko grupos) son antinaturales, y yo podría estar de acuerdo.

Answer 3

El Weil group es una extensión de la absoluta grupo de Galois de un campo de número por el componente conectado de la identidad de sus idele grupo de clase. Por supuesto, el cociente dado por el grupo de Galois de los actos en la materia. Si el grupo más grande de forma natural actúa sobre un poco de espacio es un gran problema abierto en la teoría de los números que algunas personas piensan que es la clave de la hipótesis de Riemann.

Tate, J. Número Teórico De Fondo, Proc. Symp. Pura Matemática. 33 (1979) 3-26.

Answer 4

$E_8$, antes de la teoría de cuerdas.

El Monstruo, antes de que el Módulo de la luz de la Luna, o al menos antes de la Griess álgebra.

El 3-conectado grupo que se asigna a una compacta sencilla Mentira grupo $K$, la inducción de isomorphisms en $\pi_k$ para $k>3$. (También conocido como la "cadena del grupo".)

Answer 5

Higman del grupo parece un muy buen ejemplo. Por supuesto, actúa sobre sí mismo, pero no tiene ninguna acción sobre cualquier conjunto finito o finito dimensional espacio vectorial, y la única descripción razonable es por generadores y relaciones.