falsos $S^{2k}\times S^{2k}$

Question

Deje $X$ ser un fijo cerrado colector,$S(X)$ la estructura establecida y $Aut(X)$ el grupo de auto homotopy equivalencia de $X$.

la cirugía de la teoría nos dice que $\mathcal{M}(X):=S(X)/Aut(X)$ es en bijection con el conjunto de $h$-cobordism clases de colectores homotopy equivalente a $X$.

Si $X$ simplemente se conecta y dim$X\geq 5$,luego por la $h$-cobordism teorema,$S^{Top}(X)/Aut(X)$ es en bijection con el homeomorphism clases de colectores homotopy equivalente a $X$.

Llamamos colector $M$ un falso $X$ si $M$ es homotopy equivalentes, pero no homeomórficos a $X$.

$S^{Top}(S^{2k+1}\times S^{2k+1})=0$,de ahí que no haya falsos $S^{2k+1}\times S^{2k+1}$.

Para $S^{4k}\times S^{4k}$,tenemos $S^{Top}(S^{4k}\times S^{4k})\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ e $Aut(S^{4k}\times S^{4k})$ es finito grupo. Esto significa $\mathcal{M}(S^{4k}\times S^{4k})$ es infinito.

¿Cuánto sabemos acerca de los falsos $S^{4k}\times S^{4k}$? ¿cuál es el procedimiento general de construcción de falsos $S^{4k}\times S^{4k}$?

Para $S^{4k+2}\times S^{4k+2}$, $S^{Top}(S^{4k+2}\times S^{4k+2})\cong\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$ y $Aut(S^{4k+2}\times S^{4k+2})$ es todavía limitado.porque yo no conozco a la acción de la $Aut(S^{4k+2}\times S^{4k+2})$ a $S^{Top}(S^{4k+2}\times S^{4k+2})$,no tengo idea de si $\mathcal{M}(S^{4k+2}\times S^{4k+2})$ es trivial o no,así que

Hay un falso $S^{4k+2}\times S^{4k+2}$?

Answer 1

El siguiente artículo puede ser útil:

De la pared, C. T. C. Clasificación de $(n−1)$conectado a $2n$-colectores. Ann. de Matemáticas. (2) el 75 1962 163-189.

Permítanme citar uno de los resultados de este trabajo:

Teorema 5. Si $\pi_{n-1}(SO)=0$ ,$n\geq 3$,y $M_1$ e $M_2$ son diferenciales $(n-1)$ conectada $2n$-variedades de la misma homotopy tipo,luego de algunos colector $T$ homeomórficos (y así combinatoria equivalente) para $S^{2n}$, $M_1$ es diffeomorphic a $M_2\sharp T$. Si $n=3,6$, $M_1$ es diffeomorphic a $M_2$.

Esto nos dice que no hay smoothable falsos $S^n\times S^n$ para $n\equiv 6\mod8$

Answer 2

Puede que desee echar un vistazo de los siguientes papel por Kreck y Lueck:

Topológico Rigidez para No asféricas de Colectores

donde mostraron que una condición necesaria para $S^d\times S^d$ ($d>2$) se Borel (lo que significa que $Aut(S^d \times S^d)$ actúa en $S^{Top}(S^d \times S^d)$ transitivamente,o, equivalentemente,no hay ningún "falso" $S^d\times S^d$ en su sentido) es que $d$ es impar o $2d+2=2^l$ para algunos $l$.

Ahora para $S^{4k+2}\times S^{4k+2}$ ($k>0$),sabemos que la condición anterior no se cumple,por lo tanto,hay algunos falsos $S^{4k+2}\times S^{4k+2}$.

Para $S^2\times S^2$,de hecho es Borel,yo.e.Cada colector que es homotopy equivalente a $S^2\times S^2$ es realmente homeomórficos a ella.