En grupos de Galois y $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{x^{10} - x^9 + 5x^8 - 2x^7 + 16x^6 - 7x^5 + 20x^4 + x^3 + 12x^2 - 3x + 1}\,dx$

Question

Dada la solucionable decicarle (entre muchos en esta base de datos),

$$P(x) = x^{10} - x^9 + 5x^8 - 2x^7 + 16x^6 - 7x^5 + 20x^4 + x^3 + 12x^2 - 3x + 1$$

tenemos,

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{P(x)}\,dx = 2\pi\sqrt{\frac{y}{33}}$$

donde $y\approx 0.005498$ es una raíz de la solucionable $5$-real raíz quintic,

$$410651^2 - 297369569963257 y + 64437688060325415 y^2 - 3213663132678906688 y^3 + 59485209442439490149 y^4 - (11^3\cdot67^2\cdot199^6) y^5 = 0$$

(Añadido): Una relación entre las raíces $x$ $y$ es,

$$12675353 + 84680609 x^3 + 55168143 x^6 - 6841070 x^9 - 1801451 x^{12} = (11\cdot67^2\cdot199^2) y$$

P: En general, dado un polinomio $P(x)$ con una solución Galois grupo, es cierto que si,

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{ P(x)}\,dx= 2\pi \sqrt{y}$$

y $y$ es una raíz de algunos $P(y) = 0$, $P(y)$ también tiene un solucionable grupo de Galois?

Answer 1

No es una respuesta - sólo enumerar algunos hechos evidentes que parecen ser relevantes para conseguir el balanceo de la bola.

• Los polinomios de la base de datos que seguramente sólo han simple raíces, porque ellos fueron seleccionados con una adecuada división del campo en la mente.
• Para la integral $\int_{-\infty}^\infty\dfrac{x^2}{P(x)}\,dx$ a converger es necesario que $P(x)$ no tiene raíces reales.
• Con $P(x)$ de nivel lo suficientemente alto que el habitual de los negocios con el segundo nivel del complejo de la ruta de las integrales de da $$I=\int_{-\infty}^\infty\dfrac{x^2}{P(x)}\,dx=2\pi i\sum_{P(z)=0,z\in H}\operatorname{Res}(\frac{z^2}{P(z)},z),$$ donde la suma de los rangos sobre los ceros de $P(x)$ en la mitad superior del plano de $H$.
• Los ceros son simples, por lo que una sola aplicación de l'Hospital muestra que en un cero $z_i\in H$ el residuo es $$ \operatorname{Res}(\frac{z^2}{P(z)},z_i)=\frac{z_i^2}{P'(z_i)}. $$
• Así que si escribimos $I=2\pi U$, luego $$U^2=-\left(\sum_i \frac{z_i^2}{P'(z_i)}\right)^2.$$
• Si $K$ es la división de campo de la $P(x)$ (dentro de$\Bbb{C}$),$U^2\in K$. Además, debido a $U^2$ es real, pertenece a la real subcampo $L=K\cap \Bbb{R}$. Por lo que el polinomio mínimo de a $U^2$ es solucionable, iff $Gal(K/\Bbb{Q})$ es. El número de $U\in K(i)$, por lo que, también, tiene una solución mínima polinomio.