Categoría con una "métrica" de la flecha de la composición

Question

Considere la posibilidad de una categoría $\mathcal C$, con una "distancia" de la función $d:\mathcal C^2 \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ satisfactorio el "triángulo de la desigualdad"

$$d(x \to z)\leq d(x \to y) + d(y \to z)$$

para cada par de componibles flechas $(x\to z)=(x \to y \to z)$.

Vamos a llamar a $(\mathcal C,d)$ una "métrica" de la categoría.

El primer ejemplo es el de tomar cualquier categoría $\mathcal{C}$, y definir

$$d(f)=\begin{cases} 0 & \text{ if $f$ is an isomorphism} \\\ 1 & \text{ otherwise.}\end{cases}$$

Entonces el triángulo de la desigualdad simplemente traduce la declaración : "Si $f=gh$,, a continuación, $f$ es un isomorfismo si $g$ e $h$ son isomorphisms."

También, es claro que todo espacio métrico se puede hacer en una métrica de la categoría en una forma canónica.

Podemos definir "abrir bolas" en $\mathcal{C}$: para $c \in \mathcal{C}$, $r\geq 0$, vamos

$$B(c, r) = \{d \in \mathcal{C} | \text{ there exists }f: c \to d\text{ such that }d(f) < r \}.$$

En la categoría de los campos de número y monomorphisms, podemos dejar que la $d(K \hookrightarrow L)=\log ([L:K])$. Entonces el triángulo de la desigualdad es en realidad una igualdad. Es claro que $d$ es una buena medida de "how far" $L$ es del que consta de sólo $K$. La bola abierta de radio $r$ todo $K$ es el conjunto de extensiones de $K$ grado $< e^r$.

Es posible dotar a una gran categoría como $\text{Top}$ o $\text{Grp}$, con una significativa distancia?

Answer 1

1) En la categoría de conjuntos finitos (o grupos finitos o finito de espacios topológicos....) deje $d(f)$ ser la cardinalidad de la imagen de $f$. Esto satisface la fuerte triángulo condición $$d(x\rightarrow z)\le\text{min }(d(x\rightarrow y),d(y\rightarrow z))$$

2) En cualquier categoría, para cada objeto $x$, vamos a $\xi(x)$ ser un (arbitrariamente asignado) número real positivo y definir $$d(f)=\text{min }\lbrace{\xi(c)|f \hbox{ factors through } c}\rbrace$$ Esto también satisface $$d(x\rightarrow z)\le \text{min }(d(x\rightarrow y),d(y\rightarrow z))$$

3) Fijar un lenguaje formal para describir flechas en su categoría, vamos a $l(f)$ ser la longitud de la menor descripción de $f$, y deje $d(f)=l(f)+5$. El triángulo de la desigualdad sigue, ya $g\circ h$ siempre tiene una descripción formal sólo ligeramente más largo que la suma de las más cortas descripciones formales de $g$ e $h$ (decir, dejando a cada una de estas descripciones entre paréntesis y la inserción de un $\circ$ entre ellos, a los que añade cinco caracteres).

En el caso 3), usted tiene que permitir a $d$ toma el valor infinito, o restringir el acceso a categorías en las que todo tiene un número finito de descripción.

Editado para añadir: 4) Para la categoría de espacios topológicos, se puede fijar un número entero no negativo $r$ y deje $d(f)= \hbox{rank} (H^r(f,{\mathbb Q}))$ . Esto requiere que permitan a $d$ toma el valor infinito o restricción para algunos subcategoría donde la homología de grupos finito dimensionales.