¿Es posible la inmersión isométrica del plano hiperbólico en una variedad riemanniana compacta como submanifold totalmente geodésico? ¿Algún ejemplo bonito?
Edito: Aunque no lo dije en un principio, buscaba inmersiones inyectivas o, al menos, inmersiones que no sean factoriales a través de un recubrimiento sobre una superficie compacta. Gracias por vuestras respuestas y comentarios, han sido de gran ayuda.
Sí, se sumerge isométricamente en ciertas solvmanifolds. Tomemos un mapa de Anosov de $T^2$ como por ejemplo $\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\1 & 1\end{array}\right]$ . El toro cartográfico admite una métrica localmente homogénea modelada en la Grupo de Lie unimodular soluble de 3 dimensiones . La matriz tiene dos espacios propios con valores propios $\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ y las suspensiones de líneas en el toro paralelas a estos eigespacios dan lugar a variedades inmersas modeladas en $\mathbb{H}^2$ . Si la línea del eigespacio contiene un punto periódico del mapa de Anosov, el toro de mapeo del mismo será un anillo. Pero en caso contrario será un plano hiperbólico inyectivo inmerso totalmente geodésico, que creo que es lo que pides.
Esta es una construcción general. Tomemos una representación no trivial de $H=\text{SL}_2(\mathbb{R})$ en un grupo de Lie semisimple $G$ , toma $K<G$ un subgrupo compacto máximo y tomar $\Gamma<G$ una red cocompacta irreducible. Dotar a $X=G/K$ con la estructura espacial simétrica estándar y considerar la imagen de $H$ en $X$ que es un espacio hiperbólico totalmente geodésico. Su imagen en $\Gamma\backslash X$ será una inmersión totalmente geodésica de un plano hiperbólico en una variedad compacta de Riemann.
Además, si $H$ no es un factor de $G$ hasta que Baire conjugue genéricamente $\Gamma$ en $G$ podemos obtener que la imagen de $H$ será no compacto y si $X$ es de dimensión $\geq 5$ (por ejemplo $G=\text{SO}(5,1)$ o $G=\text{SL}_3(\mathbb{R})$ ) podemos obtener que la inmersión es inyectiva (gracias a Ian Agol por corregir una inexactitud aquí en una versión anterior de mi respuesta).
@Ian, no, $X$ puede ser de cualquier dimensión $n>2$ tomando $G=\text{SO}(n,1)$ . De hecho, el caso $n=3$ podría conseguirse de una forma muy cercana a su ejemplo, sustituyendo $T^2$ con una superficie de género superior y el mapa de Anosov con uno de pseudo-Anosov.
La pregunta pedía una incrustación, no una inmersión (lo interpreté como una inmersión inyectiva). El caso de pseudo-Anosov dará planos incrustados en QI en la métrica hiperbólica, o incrustados isométricamente en la métrica singular resuelta. No creo que la métrica singular pueda ser perturbada para dar planos hiperbólicos incrustados isométricamente.
Definitivamente, los ejemplos más sencillos son los mapas de cobertura desde el espacio medio superiorf a una superficie hiperbólica compacta que mencionó Bryant, aunque éstos no son inyectivos. Una ligera variación es considerar la incrustación diagonal principal $ \imath: \mathbb{H}^2 \to \mathbb{H}^2 \times \mathbb{H}^2$ y luego utilizar diferentes proyecciones en cada factor. Por ejemplo, la primera puede ser la proyección orbital $\pi : \mathbb{H} \to \mathbb{H}^2/G$ donde $G \subset PSL(2, \mathbb{R})$ no contiene traslaciones en el eje real y el segundo podría ser $ \pi \circ T$ donde $T$ es cualquiera de esas traducciones. Entonces $(\pi, \pi \circ T) \circ \imath $ es uno a uno.
Por otro lado, todo 3manifold hiperbólico compacto tiene un montón de geodésicas inmersas totalmente $\mathbb{H}^2$ simplemente proyectando totalmente geodésicas $\mathbb{H}^2 \subset \mathbb{H}^3$ Como señaló Bryant, no está claro si la proyección puede hacerse inyectiva.
Esto debería ser un comentario pero aún no puedo comentar :)
No creo que el plano hiperbólico "genérico" tal se inyecte en el cociente hiperbólico compacto $3$ -manifold. Lo más probable es que la imagen se intersecte de forma no trivial en una familia de curvas geodésicas disjuntas. (Para comparar, basta con considerar el caso de una línea geodésica en una superficie de Riemann compacta de género $2$ . La línea "genérica" de este tipo se intersectará a sí misma (contablemente) muchas veces.
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Me gusta la respuesta de Ian, y veo que la has aceptado, pero me pregunto si querías especificar alguna otra propiedad de tu inmersión. Por ejemplo, existe el ejemplo trivial de una inmersión en una variedad compacta como submanifold totalmente geodésico simplemente considerando el plano hiperbólico como la cubierta simplemente conectada de una superficie compacta de Riemann $S$ del género $g\ge 2$ . ¿No es ese el ejemplo más sencillo que satisface tus criterios? (Si quieres que la imagen sea un submanifold propio, basta con tomar el producto cruzado de este ejemplo con cualquier colector riemanniano compacto).
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Ian adivinó que buscaba algo más parecido a una inmersión inyectiva que algo que se obtendría de un mapa de cobertura. Debería haberlo especificado en el anuncio.
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Para añadir al comentario de Bryant: genéricamente la imagen de un plano es densa (Ratner, Shah) para los 3-manifolds hiperbólicos compactos y McMullen Mohammedi Oh para los no compactos.