Hay un monoidal simétrica 2-categoría "SuperDuperVect"?

Question

Recordemos que la categoría de $\mathrm{SuperVect}$, como categoría, consta de pares de espacios vectoriales, la idea de formal directa sumas $V \oplus W\,\Pi$ donde $\Pi$ es el "raro" de línea. (Llamado "$\Pi$" porque tensoring con ella es "la paridad de reversión".) De hecho, hay una buena noción de "suma directa de categorías", en cuyo caso, como categorías, tenemos $$\mathrm{SuperVect} = \mathrm{Vect} \oplus \mathrm{Vect}\, \Pi$$ Como una categoría monoidal, declaramos que el uno-dimensional espacio vectorial $\mathbf 1 \in \mathrm{Vect}$ es el monoidal unidad y que $\Pi \otimes \Pi = \mathbf 1$, y darle el trivial asociador (de modo que como una categoría monoidal $\mathrm{SuperVect}$ es la categoría de gavillas de espacios vectoriales en $\mathbf Z/2$ con el producto de convolución; al $2$ es invertible, que supongo que es, esta es también la categoría de representaciones de $\mathbf Z/2$).

La parte interesante de $\mathrm{SuperVect}$ es su trenzado/simetría. Un trenzado $\sigma$ en esta categoría monoidal está determinada únicamente por su valor en $$\mathbf 1 = \Pi \otimes \Pi \overset \sigma \longrightarrow \Pi \otimes \Pi = \mathbf 1$$ que es sólo un número $\sigma_{\Pi,\Pi}$. Los axiomas de monoidal simétrica de la categoría de la fuerza de $\sigma_{\Pi,\Pi}$ a la plaza a $1$, pero no la fuerza para ser $1$ sí. El monoidal simétrica categoría $\mathrm{SuperVect}$ está determinado por declarar que $\sigma_{\Pi,\Pi}$ es el otro número de plazas a $1$, es decir,$-1$.

Al menos más de $\mathbb C$, $\mathrm{SuperVect}$ tiene la siguiente propiedad importante, debido a Deligne. No todos los monoidal simétrica categoría es tannakian más de $\mathrm{Vect}$ --- en particular, no existe un monoidal simétrica functor $\mathrm{SuperVect} \to \mathrm{Vect}$ --- pero cada monoidal simétrica categoría (la satisfacción de algunas técnicas de límites en las tasas de crecimiento de los objetos) es tannakian más de $\mathrm{SuperVect}$.

Mi pregunta es si este truco puede ser repetido una dimensión superior. Deje $\mathrm{Vect}_{\mathrm{SuperVect}}$ denotar la 2-categoría de todos "supercategories", es decir, las categorías con una acción por $\mathrm{SuperVect}$. (Prefiero no hacer de esta precisa. Probablemente debo llenar en algunas palabras como "abelian". Me gustaría ser perfectamente feliz de trabajar con el 2-categoría cuyos objetos son los números naturales y cuyos morfismos son las matrices de llenado con supervector espacios, igual que uno puede modelar $\mathrm{Vect}$ como la categoría cuyos objetos son números naturales y cuyos morfismos son las matrices de números). A continuación, $\mathrm{Vect}_{\mathrm{SuperVect}}$ es monoidal simétrica (debido a $\mathrm{SuperVect}$ es) con el objeto de la unidad de $\mathbf 1$, y con $\mathrm{End}(\mathbf 1) = \mathrm{SuperVect}$.

Entonces hay una perfectamente buena 2-categoría $$\mathrm{SuperDuperVect} = \mathrm{Vect}_{\mathrm{SuperVect}} \oplus \mathrm{Vect}_{\mathrm{SuperVect}} \, \Xi$$ donde la letra $\Xi$ es sólo formal símbolo de jugar el papel de $\Pi$ por encima. Me gustaría dar esta categoría monoidal simétrica estructura en la que se $\Xi \otimes \Xi = \mathbf 1$, pero el trenzado en $\Xi$ es el endomorfismo $$\sigma_{\Xi,\Xi} = \Pi \in \mathrm{End}(\mathbf 1) = \mathrm{End}(\Xi \otimes \Xi).$$ La idea es que este es otro objeto de que las plazas a $\mathbf 1 \in \mathrm{SuperVect}$.

Ahora, debo ser un poco cuidadoso. Monoidal simétrica de 2 categorías, cuando por escrito todos los detalles, constan de gran cantidad de datos y la coherencia de las condiciones. Tal vez hay alguna regla que dice que el $\sigma_{\Xi,\Xi}$ no sólo tiene a la plaza a $\mathbf 1$, pero también tiene que trenza trivialmente con sí mismo. No sé, y no estoy seguro de dónde buscar los axiomas.

Hace un monoidal simétrica 2-categoría "$\mathrm{SuperDuperVect}$" existen?

Es simétrica monoidally equivalente a algo más básico de la cosa, dicen que el 2-categoría de gavillas de supercategories en algo con el producto de convolución, o el 2-categoría de supercategorical representaciones de algo?

Hay un monoidal simétrica 2-functor $\mathrm{SuperDuperVect} \to \mathrm{Vect}_{\mathrm{SuperVect}}$?

Por supuesto, si la respuesta a la primera pregunta es "no", y luego los otros dos son discutible. Si la respuesta a la primera pregunta es "sí", entonces no me puedo imaginar respuestas positivas a los otros dos, pero tal vez mi imaginación es defectuoso.

Answer 1

Sí, la monoidal simétrica 2-categoría que usted está buscando no existe.

Yo creo que hay un poco diferente 2-categoría que es mejor, pero el tuyo embedds dentro de la que voy a describir, que se diferencia en que son interesantes las "condiciones" de $\Xi$ a 1, es decir, morfismos entre estos objetos. Este 2-categoría tiene más familiar descripción. Es la Morita categoría de finito dimensionales semisimple superalgebras (sobre $\mathbb{C}$).

Aquí un superalgebra es sólo un álgebra de objeto en SuperVect. La teoría de la semisimple módulos y álgebras de espejos que para el común de álgebras, pero con algunas sutilezas (es super sutil). Un muy buen tratamiento que cubre el caso en el que el campo de tierra es algebraicamente cerrado es este papel:

Semisimple Superalgebras Tadeusz Jozefiak Volumen 1352 de la serie Lecture Notes in Mathematics pp 96-113.

Hay que ver que hay una clasificación de semisimple superalgebras más de $\mathbb{C}$. Ellos son finitos sumas de simple superalgebras. El simple superalgebras se clasifican como

1. $End(\mathbb{C}^{p|q})$ (que es super Morita equivalente a $\mathbb{C}$)
2. $Q(n) = M_n(\mathbb{C}) \otimes Cl_1$ donde $Cl_1$ es el álgebra de Clifford en un uno-dimensional espacio vectorial complejo.

Tienen multiplicaciones (el uso de la super-producto tensor, por supuesto):

1. $End(\mathbb{C}^{p|q}) \otimes End(\mathbb{C}^{m|n}) = End(\mathbb{C}^{pm + qn|pn + qm})$
2. $End(\mathbb{C}^{p|q}) \otimes Q(n) = Q(pn + qn)$
3. $Q(m) \otimes Q(n) = End(\mathbb{C}^{mn|mn})$

Ahora la 2-categoría a la que quiero considerar es la Morita 2category cuyos objetos son de la aleta. dim. semisimple superalgebras y cuyo 1-morfismos son superbimodules entre ellos.

El isomorfismo de las clases de objetos en este 2-categoría están dadas por los pares de números naturales que contar el número de $End(\mathbb{C}^{p|q})$ e $Q(n)$ factores.

Las categorías de morfismos son exactamente lo que usted describe, siempre y cuando se lanza a la cruz de término de morfismos. Por ejemplo, la categoría de morfismos de $\mathbb{C}$ a $Q(n)$ es equivalente a la categoría de $Q(n)$-módulos, donde en su 2-categoría (si entiendo su notación) a la que tendría el cero de la categoría aquí. El 2-categoría que usted describe se encuentra en el interior como en el sub-2-categoría con sólo el cero cruz de término morfismos.

Ahora para la última pregunta. No es monoidal simétrica functor $$SuperDuperVect \to Vect_{SuperVect}$$ donde SuperDuperVect es la Morita de la categoría I a describir o a la subcategoría que usted menciona. Usted puede ver que esta pasando con el máximo Picard sub-2-categorías (es decir, el max 2-categoría en la que todos los morfismos y los objetos son invertible).

Estos Picard 2-categorías son equivalentes a los espectros con 3 consecutivos homotopy grupos. El destino le da un espectro con $$\pi_0 = 0, \; \pi_1 = \mathbb{Z}/2, \; \pi_2 = \mathbb{C}^\times$$ mientras que la fuente (en cualquier caso) ha $$\pi_0 = \mathbb{Z}/2, \; \pi_1 = \mathbb{Z}/2, \; \pi_2 = \mathbb{C}^\times$$ . Además, el k-invariantes de estos son bien conocidos. El último parece un tronco de la variante de la de color Marrón-Comenetz doble de la esfera. Está estrechamente relacionado con la real K-teoría KO. El primero (el destino) se parece a la conectivo de la cubierta. El k-invariante de la conexión de la parte inferior $\mathbb{Z}/2$ a los otros homotopy grupos (por ejemplo. la próxima $\mathbb{Z}/2$) obstruye la existencia de su mapa, y es conocido por ser distinto de cero.