Cómo lentamente puede un poder de un ideal de crecer?

Question

Para un polinomio ideal $I\subset \mathbb{C}[x_1,x_2]$, vamos a $D(I)$ ser el más pequeño grado de cualquier polinomio en $I$.

Cómo lentamente puede $D(I^n)$ crecer como una función de la $n$? Por ejemplo, si $D(I^n)\leq 1.01n$ para algunos $n$, implica que el $I$ contiene un polinomio lineal?

Tenga en cuenta que la única variable de caso es trivial: $D(I^n)=n\cdot D(I)$.

Estoy interesado en una más general de la situación que en la pregunta, pero la versión es el caso más simple donde estoy atascado.

Answer 1

Considere la posibilidad de $I = (y- x^k, x^{k+1})$.

Para $k>1$ este no contiene ninguna de las funciones lineales. Contiene $xy$ lo $D(I)=2$. Pero afirman $y^{k+1} \in I^k$, lo $D(I^k) = k+1$.

Por el teorema del binomio

$$y^{k+1} = (y-x^k + x^k)^{k+1} = \sum_{i=0}^{k+1} \begin{pmatrix} k+1 \\ i \end{pmatrix} \left(y-x^k\right)^i x^{k (k+1-i) }$$

En el exponente:

$$k(k+1-i) =k^2 +k - ik = (k+1)(k-i) + i$$

así que esto es

$$(y-x^k)^{k+1} + \sum_{i=0}^{k} \begin{pmatrix} k+1 \\ i \end{pmatrix} x^i\left(y-x^k\right)^i \left(x^{k+1}\right)^{k-i} \in I^k$$

(Boris señaló un error en mi anterior argumento, lo que me llevó a encontrar este contraejemplo.)

En general, subadditivity muestra $\lim_{n \to \infty} \frac{D(I^n)}{n}$ existe, y que cualquier valor fijo de $\frac{D(I^n)}{n}$ es al menos de este límite. Así que una versión de esta pregunta es acerca de cómo comparar el $D(I)$ a este límite. Aquí nos muestran el límite puede ir arbitrariamente cerca de $1$ con $D(I)=2$. Mediante la adición de azar lineal factores, el límite puede ser arbitrariamente cerca de $D(I)-1$. Pero, probablemente, para mayor $D(I)$ el límite puede ser menor que $D(I)$ más incluso que el de $1$.

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Algunos límites inferiores:

En el caso de que $I$ es radical, si $D(I) \geq 2$,, a continuación, $D(I^n) \geq (3/2)n$ (y, de hecho, $\lceil (3/2) n \rceil$ se consigue.) $V(I)$ no debe estar contenida en cualquier línea, de modo que debe contener $3$ noncolinear puntos, y podemos asumir que $I$ es el ideal de la $3$ noncolinear puntos. A continuación, $I^n$ es el ideal de las funciones de la desaparición de la orden de $n$ a los $3$ puntos. Este contiene una función de grado $(3/2)n$, que es el producto de las potencias de las líneas a través de los puntos.

Esta es la óptima, debido a que dado un polinomio $f$, que es la primera línea elevado a la potencia $a$ veces un polinomio de grado $d−a$, el polinomio de grado $d−a$ debe intersectar los dos puntos en la primera línea con la multiplicidad $n−a$, lo $d−a \geq 2(n−a)$ y si $d\leq (3/2)n$, $a \geq n/2$. A continuación, el mismo es cierto para la multiplicidad de los otros $3$ líneas, por lo tanto $d\geq 3n/2$.

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He aquí otro interesante fenómeno. Tome $I$ a ser el ideal de la $k (k+1) /2$ genérico puntos. A continuación, $D(I)= k$ por la dimensión de conteo. $I^n$ es el ideal de las funciones de la desaparición de la orden de $n$ a $k(k+1)/2$ puntos distintos, que es un ideal de codimension $n (n+1)/2 \cdot k (k+1)/2$. Esto es menos de $d (d+1)/2$ para $d$ aproximadamente igual a $nk / \sqrt{2}$. Así que hay un grado de $d$ polinomio en $I^n$, e $D(I^n)$ es asintóticamente en la mayoría de las $nk/\sqrt{2}$.

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Puedo demostrar que si $D(I) \geq 2$,, a continuación,$\lim_{n \to \infty} D(I^n)/ n> 1$. Tome $I$ maximal con respecto a la propiedad $D(I) \geq 2$. A continuación, cada factor local de $I$ a un punto de $V(I)$ contiene dos funciones lineales, o es maximal con respecto a la propiedad de que contenga una función lineal, y por lo tanto se parece a $(y, x^2)$, o es maximal con respecto a la propiedad de que no contiene funciones lineales, y por lo tanto se ve.

¿El último tipo de ideales parecen? Debe haber alguna longitud de $1$ de extensión, el cual debe contener alguna función lineal $y$, y entonces es de la forma $(x^k,y)$ para algunos $n$. La longitud de una de las extensiones de las que tienen la forma$(x^{k+1}, xy, y^2, ax^k+ by)$, y debemos tener $a \neq 0$. Si $b =0$, el ideal que contiene está contenida en $(x^2, xy, y^2)$, que es un ejemplo de un ideal maximal con esta propiedad. De lo contrario, mediante la ampliación de $y$, lo podemos poner en la forma de mi ejemplo.

Caso 1: $I= (x^2, xy, y^2)$. Un elemento en $I^n$ se desvanece a fin de $2n$ a $I$, por lo tanto tiene un grado mínimo de $2n$.

Caso 2: $I = (y-x^k, x^{k+1})$. Un elemento en $I^n$ intersecta $y-x^k$ con multiplicidad $n (k+1)$, por lo tanto tiene un grado mínimo de $n (k+1)/k$. Habiendo $(y-x^k)$ dividir el elemento no ayuda porque tiene un grado $k$, pero sólo elimina $k+1$ de la intersección.

Caso 3: $I$ contenida en $(y, x^2)$. A continuación, $I$ también debe desaparecer en algún lugar en la línea de $y=0$. Si el grado es en la mayoría de las $(3/2)n$ la multiplicidad de intersección con la línea de $x=0$ al menos $2n$, por lo que por la misma lógica que en el reducido caso de que el polinomio contiene un factor de $x^{n/2}$. El resto del polinomio debe desaparecer a fin de $n$ en el otro punto en la línea $y=0$ por lo tanto tienen un grado mínimo de $n$, por lo que el mínimo es de $(3/2)n$.

Caso 4: $I$ está contenida en ninguno de estos y es máxima, por lo tanto reducd. Ya hicimos este caso.

Answer 2

La prueba de que $D(I^2)=2 \Rightarrow D(I)=1:$ Desde $k=$ℂ es algebraicamente cerrado, cada ideal maximal de $k[x,y]$ es de la forma $(x-a,y-b)$, por lo que por una traducción de coordenadas (que conserva grados) podemos suponer $I \subset (x,y)$. La sustitución de los generadores de $I$ por $k$-combinaciones lineales, podemos suponer que en la mayoría de los 2 generadores (por ejemplo, $u,v$) tienen un grado=1 términos, y además, que los más altos términos de $u,v$ en el monomio ordenar por (total grado, $y$-grado, $x$-grado) son diferentes. Ahora si $I^2$ contiene un polinomio de grado=2, entonces debe contener un $k$-combinación lineal de $u^2,uv,v^2$ de grado=2, y los mejores términos de $u^2,uv,v^2$ en el monomio pedido son diferentes, por lo que al menos uno de $u,v$ tiene grado=1.