François ha excelentemente dirigida tu pregunta 1; permitir
me abordar la pregunta 2. Entiendo la pregunta:
¿cuál será la matemática efectos si alguien se
muestran que no existen (débilmente) inaccesible cardenales? Un
cuestión similar se puede aplicar a cualquier de varios de los grandes
cardenales. Así que permítanme enumerar algunas de las consecuencias.
En primer lugar, permítanme señalar que la existencia de un débil
inaccesible cardenal es demostrablemente equiconsistent con el
la existencia de una (muy) inaccesible cardenal, ya que cualquier
débilmente inaccesible cardinal fuertemente inaccesible en
$L$, y así la cuestión acerca de la débil o fuertemente inaccesible
es irrelevante cuando se trata de mantener la consistencia.
Segundo, permítanme señalar que el conjunto de los teóricos no son generalmente
satisfecho con afirmaciones del tipo "la única prueba usa
tal-y-tal", sino que el uso de los conceptos de
la consistencia de la fuerza y la equiconsistency, que permiten
precisa afirma ser demostrado acerca de exactamente qué grande
los cardenales están obligados a demostrar que las declaraciones. El
la situación es que para muchos matemáticos afirmaciones, podemos
demostrar que la prueba debe usar un determinado tipo de grandes
el cardenal o algo igual de fuerte, en el sentido de que el
la consistencia de la declaración en sí implica la consistencia
de el gran cardenal en cuestión. De esta manera, podemos evitar
cualquier cuestión problemática sobre conocimientos acerca de si una mejor prueba es
simplemente aún no descubiertas.
Como resultado, si inaccesibles cardenales deben ser refutado,
a continuación, utilizando los resultados conocidos de inmediato nos ganancia de un
enorme número de resultados positivos de teoremas. Así que no es realmente un
caso de perder teoremas, sino más bien de lograr.
Teorema. Si inaccesibles cardenales son inconsistentes,
entonces (podemos probar que) podemos construir un no-Lebesgue
medibles conjunto de reales sin usar el axioma de elección.
Esto se deduce del hecho de que Solovay y Sela han
demostró que la posibilidad de la construcción de un no-Lebesgue
medibles conjunto de los reales (en el contexto de ZF+DC) sin
el uso de AC es exactamente equivalente a la inconsistencia de
inaccesible cardenales.
La mayoría de la gente cree que uno debe usar de CA en cualquier Vitali-tipo de
la construcción de un no-Lebesgue medibles, y la
el teorema anterior muestra que esta creencia se puede probar equivalente
a la consistencia de la inaccesibles cardenales. Tal vez muchos
los matemáticos encuentran su confianza en el
consistencia inaccesibles de cardenales para aumentar al
el aprendizaje de esta, y en este sentido, es también una respuesta a la pregunta 1.
En cualquier caso, muchas conjunto bien conocido
los teóricos han puesto de relieve una enorme confianza en el
la consistencia de los grandes cardenales, y he dicho bastante
explícitamente que si inaccesibles cardenales debe convertirse en
conocido es inconsistente, entonces deberíamos esperar más
inconsistencia mucho menor en ZFC o en los niveles bajos
de PA.
Teorema. Si inaccesibles cardenales son incompatibles
(e incluso simplemente si podemos refutar una infinidad de Woodin
cardenales), entonces (podemos probar que) hay un proyectiva
conjunto de reales $A\subset\mathbb{R}$ cuyo correspondiente
dos personas juego de información perfecta no tiene ganadora
estrategia para el jugador. En otras palabras, la infinitary
de Morgan, de la ley
$$\neg\forall n_0\existe n_1\forall n_2\existe n_3\cdots Un(\vec
n)\ffi\existe n_0\forall n_1\existe n_2\forall
n_3\cdots\neg a(\vec n)$$ fallará para algunos proyectiva conjunto
$A$.
El proyectiva conjuntos de reales son los reales de los que
definibles por una propiedad que involucra sólo a través de la cuantificación
los números reales y enteros. El motivo por el teorema es
que proyectiva determinación es equiconsistent más de ZFC con
infinidad de Woodin cardenales, y por tanto, si nos refutar la
grandes cardenales en ZFC, entonces nosotros del mismo modo refutar proyectiva
la determinación.
Teorema. Si inaccesibles cardenales son incompatibles
(e incluso si sólo medible cardenales son inconsistentes),
entonces (podemos probar que) hay una analítica (a
imagen continua de un conjunto de Borel) que no está determinado.
Teorema. Si inaccesibles cardenales son inconsistentes,
a continuación, podemos probar que el conjunto completo de la teoría de universo es
muy cerca de la edificable universo en el sentido de
cubriendo. En particular, $L$ calcula los sucesores de
singular cardenales correctamente.
Esta sorprendente conclusión de la siguiente manera, en este caso de Jensen
cubriendo lema, ya que refutar inaccesible cardenales
implica una refutación de $0^\sharp$.
Teorema. Si inaccesibles cardenales son inconsistentes,
a continuación, en ninguna hay un countably completa con un valor real
medida de la medición de todos los subconjuntos del conjunto y dar puntos no de masa.
Esto es simplemente porque cualquier valor real medible cardenal
es medible y por lo tanto inaccesibles en el interior del modelo.
Teorema. Si inaccesibles cardenales son inconsistentes,
entonces (podemos probar que) no hay incontables
Grothendieck universos y el axioma de universos en
categoría de la teoría es falsa.
Un sinnúmero de Grothendieck del universo es exactamente $H_\kappa$
para un cardinal inaccesible $\kappa$, y el axioma de
universos afirma que cada conjunto es de tal universo.
Hay muchos más ejemplos. (Invito a cualquiera de conocimientos
persona para editar la respuesta con ejemplos adicionales.)
