La evaluación de $Q = \sqrt{1!+\sqrt{2!+\sqrt{3!+\dots}}}$

Question

Considere la posibilidad de

$$Q = \sqrt{1!+\sqrt{2!+\sqrt{3!+\sqrt{4!+\sqrt{5!+\sqrt{6!+\dots}}}}}}$$

Estoy seguro de que por encima de la raíz anidados converge, considerando $(x!)^{2^{-x}} \to 1$ (esta es una condición suficiente para la conclusión de la convergencia?) He calculado $Q$ a muy pocos dígitos, y para mi sorpresa, encontró algo que estaba fuera por menos de $1 \times 10^{-9}$:

$$A=\left(\frac{e^{-\pi}}{\sin(\frac\pi{12})}\right)^{\sqrt{5}}$$

Que no es bonito, pero está muy cerca de a $Q$, y puede ser incluso más cerca (o, menos emocionante, menos cerca) si he calculado $Q$ a más dígitos. Por desgracia, $Q$ crece muy lentamente, así que realmente no puedo hacer eso. Si esta realidad converge a este número extraño o no, hay alguna esperanza en encontrar una forma cerrada para $Q$?

Answer 1

Esto no es nada más que un comentario largo, pero me encontré preguntándome si había una manera fácil de obtener un razonable límite superior en el valor de $Q$, suponiendo que su límite existe. (Los límites inferiores son una moneda de diez centavos una docena; cualquier truncamiento de la anidados radical va a hacer.) He aquí lo que encontré:

$$\begin{align} \sqrt2Q&= \sqrt2\sqrt{1!+\sqrt{2!+\sqrt{3!+\cdots}}}\\ &=\sqrt{2+2\sqrt{3!+\sqrt{4!+\cdots}}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{4\cdot2!+4\sqrt{3!+\cdots}}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{4\cdot2!+\sqrt{16\cdot3!+\sqrt{256\cdot4!+\cdots}}}}\\ &\gt\sqrt{2+\sqrt{3!+\sqrt{4!+\sqrt{5!+\cdots}}}}\\ &=Q^2-1 \end{align}$$

por lo $Q^2-\sqrt2Q-1\lt0$, lo que implica

$$Q\lt{\sqrt2+\sqrt6\over2}\approx1.93$$

Esta obligado, mientras que el crudo porque crudamente obtenidos, es, no obstante, no demasiado lejos del valor reportado, $Q\approx1.827$.

Añadido posterior: parece Que vale la pena dar una prueba de que la secuencia de $Q_n=\sqrt{1!+\sqrt{2!+\sqrt{3!+\cdots+\sqrt n!}}}$ converge.

Es claro que la sucesión es monótona creciente, por lo que es suficiente para mostrar que está delimitada por encima. La prueba es por inducción (en $n$) de la siguiente declaración: Para todos los $m,n\in\mathbb{N}$,

$$\sqrt{m!+\sqrt{(m+1)!+\cdots+\sqrt{(m+n)!}}}\le m!+1$$

La desigualdad es, sin duda, para todos los $m$ en el caso base $n=0$: $\sqrt{m!}\le m!+1$. Inducción ahora dice que

$$\sqrt{m!+\sqrt{(m+1)!+\cdots+\sqrt{(m+n)!}}}\le\sqrt{m!+((m+1)!+1)}$$

eso es suficiente para comprobar que

$$m!+(m+1)!+1\le(m!+1)^2$$

que es bastante fácil de ver, ya que

$$(m!+1)^2=m!m!+2m!+1=m!+(m!+1)m!+1\ge m!+(m+1)m!+1=m!+(m+1)!+1$$

Dejando $m=1$ en la desigualdad de $\sqrt{m!+\sqrt{(m+1)!+\cdots+\sqrt{(m+n)!}}}\le m!+1$, se deduce que $Q_n\le1!+1=2$ para todos los $n$, por lo que el (monótonamente creciente) de la secuencia está delimitado por encima, por lo tanto converge a un límite.

Answer 2

Podemos mejorar la realidad de los límites de $Q$, por conocer a dos identidades básicas de las radicales $$\phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}$$ $$\phi\sqrt{n}=\sqrt{n+\sqrt{n^2+\sqrt{n^4+...}}}$$ The latter is formed by pushing in though $n$ inside the radicals. Now take $$Q^2-1=\sqrt{2+\sqrt{6+\sqrt{24+...}}}$$

Ahora para obtener un obligado necesitamos utilizar una anidados radical con la co-effectients similar a la de $Q$. Tomar;

$$\phi \sqrt{2^{7/6}}=\sqrt{2^{7/6}+\sqrt{2^{7/3}+\sqrt{2^{14/3}+...}}}$$ $$=\sqrt{2.2449..+\sqrt{5.039684+\sqrt{25.39841..+...}}}$$ It can be seen that $$\phi \sqrt{2^{7/6}}>Q^2-1$$ Subsequently, $$Q<\sqrt{\phi \sqrt{2^{7/6}}+1}$$ $$Q<1.85048960..$$ Not a bad bond considering $Q=1.827014717..$. We can also take this method to a much extend and obtain, $$Q<\sqrt{\phi \sqrt[^8]{4!}+1}$$ $$Q<1.84586304..$$

Otro derivable obligado sería; $$Q<\sqrt{1+\sqrt{2+\phi \sqrt[^{16}]{15\cdot2^{15}}}}$$ $$Q<1.838818182...$$

Una aproximación para Q sería $$Q\approx e^{W(\frac{10}{9}-\frac{1}{100})}$$ Where $W(x)$, is the Lambert W-function, also called the product-log. With the error being $1.29970\cdot10^{-7}$

Answer 3

Sólo por diversión !

Me dio un amigo mío de la constante tal como aparece en la secuencia de $A099876$ a $OEIS$ y regresó con la aproximación $$\frac{2-\sqrt{2}+2 \sqrt{3}-3 e-2 \pi -5 \pi ^2+\log (2)+2 \log (3)}{2 \sqrt{2}+8 \sqrt{3}-9 e+8 \pi -6 \pi ^2+6 \log (2)+6 \log (3)}$$ which is in a relative error of $8.14 \times 10^{-18}$%.

No es muy agradable !