Infinito de las matemáticas como no estándar finito de matemáticas?

Question

Tengo en mente algo como lo siguiente:

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Comience con algo adecuado de la versión de "finito" de las matemáticas. Algunas de las posibilidades podría ser tal vez ZFC con un adecuado anti-infinito axioma, el topos $\mathbf{FinSet}$, la aritmética de Peano, máquinas de Turing... algo cuyos objetos son adecuadamente "finito".

Entonces, postulan la existencia de un estándar y no estándar del modelo.

Ahora, en este escenario, donde tenemos acceso tanto a un modelo estándar y una extensión no estándar, el uso de la no-estándar de objetos como apoderados de infinitos objetos (por ejemplo, tal vez algún tipo de teoría de conjuntos que tiene un conjunto de números naturales), y desarrollar ordinaria de matemáticas de esta manera.

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Alguien ha trabajado con este tipo de cosa? ¿Alguien sabe de las referencias de las que está haciendo? O sugerencias que no se puede averiguar?

(P. S. yo no estaba seguro de cómo etiquetar esta....)

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Edit: Después de más de pensamiento y la revisión de las respuestas hasta ahora, creo que puedo afirmar un ejemplo del tipo de cosas que me estaba imaginando. Definir un primer orden de la teoría con dos tipos de $T_1$ e $T_2$, dos binarios relación símbolos $\in_1, \in_2$ (uno de cada tipo), y un mapa de la $\tau : T_1 \to T_2$ la satisfacción de:

• $(T_1, \in_1)$ satisface los axiomas de la teoría de conjuntos finitos
• $(T_2, \in_2)$ satisface los axiomas de la teoría de conjuntos finitos
• $\tau$ es inyectiva
• $\tau$ no es surjective
• $\tau$ satisface el axioma esquema que se dice que es un elemental de la incrustación

y la pregunta es hasta qué punto podemos desarrollar infinito de la teoría de conjuntos en esta teoría.

Answer 1

Para otra ruta para el fenómeno, considere el siguiente teorema de Ressayre, que siempre ha fascinado y me embaucó. De hecho, creo que la conclusión de un poco alarmante y tal vez incluso extraño, precisamente porque parece ser demasiado fuerte el cumplimiento de su pedido fenómeno.

Teorema. Si ${\cal M}=\langle M,\hat\in\rangle$ es un modelo no estándar de un conjunto finito de la teoría, tales como el modelo natural que surjan a partir de un modelo no estándar de PA, y si $T$ es consistente computably axiomatizable extensión de ZF, tales como ZFC o ZFC+$\exists$ supercompact cardenal, entonces hay una submodel $N\subset M$ tal que ${\cal N}=\langle N,\hat\in\rangle$ es un modelo de $T$.

Es decir, aunque $\cal M$ es un modelo de finita de la teoría de conjuntos, se tiene una subestructura darse cuenta de la infinitary teoría de ZFC o mucho más. De esta manera, el teorema se cumple su solicitud, ya que estamos en la capacidad de encontrar, dentro de las no estándar de la parte finita de la modelo totalmente fiel copia de la infinitary la teoría de conjuntos. Lo sorprendente, para mí, es que podemos hacerlo de una manera flexible para darnos cuenta de los grandes cardenales o cualquier otro conjunto coherente de teoría.

Ali Enayat explica algunos de los detalles en su respuesta a Mirco Mannucci la pregunta de la teoría de conjuntos dentro de aritmética a través de la Ackerman yoga, citando a J. P. Ressayre, Introducción aux modelos récursivement saturés, Séminaire Général de Logique 1983-1984 (París, 1983-1984), 53-72, Publ. De matemáticas. Univ. París VII, 27, Univ. París VII, París, 1986.

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Actualización (11/20/2012).

Mi papel Cada contables del modelo de la teoría de conjuntos incrusta en su propio edificable universo contiene los siguientes fortalecimiento de Ressayre del teorema:

Teorema. Si ${\cal M}$ es cualquier no estándar del modelo de PA, a continuación, cada contables del modelo de la teoría de conjuntos es isomorfo a un submodel de $\langle\text{HF}^{\cal M},{\in}^{\cal M}\rangle$. De hecho, esta estructura es universal para todos los contables acíclicos relaciones binarias.

Aquí, $\text{HF}$ se refiere al modelo natural finito de la teoría de conjuntos se define dentro de $\cal M$, la hereditario finito de conjuntos como codificada en $\cal M$. La relación $\in^{\cal M}$ es el Ackerman relación, por lo que el $n\in^{\cal M} m$ sólo en caso de que el $n$ th bits en binario de la expansión de $m$ es $1$.

Este teorema elimina el papel de la teoría de la $T$ en Ressayre del teorema, para no sólo podemos obtener simplemente por lo menos un modelo de $T$ como submodel de $\cal M$, pero de hecho cada contables modelo de $T$ surge como una submodel.

El punto ahora---y la razón por la que consideren esto como relevantes para su pregunta---es que cualquier contables modelo de ZFC, incluso uno en la satisfacción de un muy fuerte de la teoría, se puede encontrar como un submodel de cualquier modelo no estándar de la estrictamente finitary teoría de la $\text{ZFC}^{\neg\infty}$, que piensa que cada conjunto es finito. Así que esto es exactamente una situación en donde tenemos todo un universo de infinita matemáticas derivadas, precisamente, como una forma de no estándar finito de matemáticas.

Answer 2

El sistema estándar de un modelo de orden de la Aritmética de Peano funciona de esta manera.

El modelo estándar $\mathbb{N}$ es un segmento inicial de cada modelo no estándar $\mathcal{M}$. Elija un elemento no estándar $w$ de % de$\mathcal{M}$. El binario de expansión de números en $\mathcal{M}$ bajo $2^w$ definir no estándar cadenas binarias de longitud $w$. Para cada una de las $x$, corresponde a un subconjunto $X$ de % de $\mathbb{N}$ donde un número estándar $n$ pertenece a $X$ si y sólo si el $n$-ésimo bit de $x$ es $1$. La recopilación de todos estos conjuntos de $X$ se llama el estándar de sistema de $\mathrm{SSy}(\mathcal{M})$ de % de$\mathcal{M}$. Este sistema estándar es siempre un Scott, de manera que se pueden utilizar para formar un modelo estándar de segundo orden de la aritmética donde el débil König lema es verdad. La estructura de la primera modelo de orden de $\mathcal{M}$ dicta mucho de las propiedades de este segundo modelo de orden.

Construcciones similares se pueden hacer en diferentes contextos, pero este es sin duda el más común.

Answer 3

Es posible que desee buscar en el trabajo de Vopenka y sus colaboradores en lo que ellos llaman la alternativa de la teoría de conjuntos. La teoría formal se ve un poco extraño, ya que permite una adecuada clases subclases de conjuntos, pero una interpretación de la teoría es que los juegos son el interior de los conjuntos de un modelo no estándar de finito de conjunto de la teoría, mientras que las clases son arbitrarias (no necesariamente interna) de subconjuntos de. Hay un pequeño libro, "las Matemáticas en la Alternativa de la Teoría de conjuntos," por Vopenka, que debería servir como una buena introducción al tema.

Answer 4

Actualización: me parecía un poco más en ella. Parece que esto es todavía un sistema de ZFC, y por lo tanto infinita. Así que esto no es lo que usted está buscando.

No estoy seguro, pero creo que esto es similar a los de Nelson interna de la teoría de conjuntos. Hay un AMS artículo del Boletín (Interna de la teoría de conjuntos: Un nuevo enfoque para el análisis no estándar) de los que he tenido la intención de leer. De nuevo, yo no lo he leído así que no estoy seguro.

Mientras que usted quería todo de las matemáticas, Nelson también tiene un tratamiento de la teoría de la probabilidad (Radicalmente Elemental de la Teoría de la Probabilidad), que creo que funciona iniciando con probabilidad finita de la teoría y obtiene infinito de la teoría de la probabilidad a través de modelos no estándar. (De nuevo, esto es en mi lectura de la lista, así que no estoy seguro.)