Órbita periódica de la propiedad

Question

Un espacio topológico $X$ satisface "órbita Periódica de la propiedad", brevemente POP, si para cada mapa continuo

$f:X \to X$, existe un número natural $n$ y un punto de $x_{0}\in X$ tal que $f^{n}(x_{0})=x_{0}$

Obviamente punto fijo de la propiedad(FPP) implica POP.

Para un número natural $n$,un espacio topológico $X$ se llama $n-POP$ si para cada mapa continuo $f$ en $X$, $f^{n}$ tiene un punto fijo.(Ex: $\mathbb{S}^{2n}$ es un 2-POP colector, debido a que el grado de un punto fijo de menos de mapa en $\mathbb{S}^{2n}$ debe $-1$)

La Pregunta:

Hay un ejemplo de un colector $M$ que satisface POP, pero para cada $n\in \mathbb{N}$, no es un mapa continuo $f$ a $M$ tal que $f^{n}$ no tiene ningún punto fijo?

A saber: la búsqueda de un colector para que cada auto mapa tiene una órbita periódica, pero no hay ningún tipo de control sobre los períodos.

De forma equivalente:

Hay un colector $M$ que es el POP, pero no $n-POP$ para todos los $n\in \mathbb{N}$?

En particular, podemos decir:

"todas las compactas POP colector es necesariamente un $n$-POP colector, para algunos $n$"?

Motivados por Lefschetz de punto fijo teorema, le pedimos que:

Lo algebraicas topológico criterio, puede ser introducido a la consideración de esta propiedad(POP)?

Edit: de Acuerdo a la respuesta muy interesante de Qiaochu Yuan, en el orientable caso, la pregunta es equivalente a la siguiente:

Sea M un cerrado orientable colector. Es cierto que $M$ no es POP si y sólo si $\chi(M)=0$?

Nota 1Para una pregunta relacionada con ver este post y es natural preguntarse que "No $S^{2}\vee S^{2}$ satisfacer la órbita periódica de la propiedad?"

Note2 creo que la continuación del argumento de Qiaochu de Yuanes en su primera declaración no es fácil, por arbitraria colector. Porque para el caso más simple $S^{3}$ tuvimos la famosa conjetura de "la existencia de un campo de vectores en $S^{3}$ sin órbita periódica. De hecho, la consideración de la no desaparición de campos vectoriales es necesario pero no suficiente. Periódico órbitas de los campos vectoriales son importantes, también. Por otra parte, tal vez un enfoque que no se basa en "campos vectoriales" podría ser útil, por ejemplo, la consideración de oriention revertir diffeomorphisms.

Nota 3: "pointwise periódico homeomorphism' es un concepto que indirectamente es similar al tema de este post.

Answer 1

Buena pregunta! Aquí es lo que puedo mostrar.

Deje $X$ ser un suave cerrado colector. Entonces:

(1) Si $\chi(X) = 0$,, a continuación, $X$ no $n$-POP para cualquier $n$.

(2) Si $\chi(X) \neq 0$ e $X$ es orientable, entonces $X$ es $\text{lcm}(1, 2, ... n)$-POP con respecto a los mapas, $f : X \to X$ de los cero grados, donde $n = \text{max}(b_0 + b_2 + ..., b_1 + b_3 + ...)$ (donde $b_i$ es el $i^{th}$ Betti número de $X$).

La prueba de 1. Vamos a utilizar la inversa de la de Poincaré-Hopf teorema: si $\chi(X) = 0$,, a continuación, $X$ admite un nonvanishing campo de vectores. Deje $\varphi(t)$ denotar el flujo de este campo vectorial. Deje $t_{0}>0$ ser lo suficientemente pequeño para que $\varphi(t_0)$ no tiene puntos fijos. Tal $t_{0}$ existe, porque no es un positivo uniforme límite inferior para el período de todos los periódicos de las órbitas.(Como consecuencia del flujo de caja teorema, alrededor de puntos ordinarios de un campo de vectores). Para un determinado $n \in \mathbb{N}$, vamos a $f = \varphi \left( \frac{t_0}{n} \right)$. A continuación, $f^n$ no tiene puntos fijos, por lo tanto $X$ no $n$-POP. $\Box$

(Tengo la fuerte sospecha de que en este caso $X$ no es POP, ya sea; me parece que debe ser capaz de considerar un pequeño flujo de una lo suficientemente genéricos nonvanishing campo de vectores. Pero no sé cómo terminar este argumento.)

La prueba de la 2. Vamos a necesitar los siguientes dos observaciones.

Lema 1: Vamos a $f_0, f_1$ ser lineal operadores que actúan en dos finito-dimensional espacios vectoriales $V_0, V_1$. Si $\text{tr}(f_0^k) = \text{tr}(f_1^k)$ para $k$ entre $1$ e $\text{max}(\dim V_0, \dim V_1)$,, a continuación, $f_0$ e $f_1$ tienen los mismos autovalores distintos de cero con las mismas multiplicidades.

Prueba. La condición anterior implica, utilizando el método de Newton-Girard identidades, que $f_0$ e $f_1$ tienen el mismo polinomio característico a los factores de $t$. $\Box$

Lema 2: Deje $X$ ser $n$-dimensiones liso cerrado orientado colector y deje $f : X \to X$ ser un mapa de cero grado. A continuación, cada autovalor de $f$ que actúa sobre cohomology (con coeficientes complejos) es distinto de cero.

Prueba. Deje $e_1, ..., e_d$ ser una base de vectores propios generalizados para la acción de la $f$ a $H^k(X, \mathbb{C})$. Por la dualidad de Poincaré de la copa del producto $H^k \otimes H^{n-k} \to H^n$ es no degenerado, por lo que podemos encontrar una base dual $e_1^{\ast}, ..., e_d^{\ast}$ de % de$H^{n-k}(X, \mathbb{C})$. Desde $f$ hechos por un escalar distinto de cero, es decir,$\deg f$, en $e_i \smile e_i^{\ast}$ para todos los $i$, la generalización de la autovalor de $e_i$ también debe ser distinto de cero. $\Box$

Ahora, de vuelta a la prueba de 2. Con la hipótesis anterior, vamos a $f_0$ denotar el mapa inducida por $f$ sobre la suma directa de $V_0$ de la dimensiones complejas cohomology de $X$ y deje $f_1$ denotar el mapa inducida por $f$ sobre la suma directa de $V_1$ de la impar-dimensional complejo cohomology de $X$, por lo que el Lefschetz rastro de $f^k$ puede ser escrito

$$L(f^k) = \text{tr}(f_0^k) - \text{tr}(f_1^k).$$

Por el Lema 2, los valores de $f_0$ e $f_1$ son todos distintos de cero, por lo que si $f_0$ e $f_1$ tienen los mismos autovalores distintos de cero, a continuación, en particular,$\dim V_0 = \dim V_1$. Por el contrapositivo de Lema 1, si $\chi(X) = \dim V_0 - \dim V_1 \neq 0$, entonces existe algún $k$ entre $1$ e $n = \text{max}(\dim V_0, \dim V_1)$ tal que $L(f^k) \neq 0$, por lo tanto, por el Lefschetz teorema de punto fijo, de tal manera que $f^k$ tiene un punto fijo. En particular, $f^{\text{lcm}(1, 2, ... n)}$ tiene un punto fijo. $\Box$

Answer 2

El siguiente es demostrado por F. Brock Fuller en "La Existencia de Periódicos Puntos," Anales de las Matemáticas, Vol. 57, 1953, pp 229-230:

Teorema. Sea X un compacto simplicial complejo con los números de Betti $B_i$, y un valor distinto de cero característica de Euler. Si un mapa continuo $f: X\rightarrow X$ induce isomorphisms de homología de grupos, a continuación, $f$ tiene un punto cuyo período es $\le \max_i \big (∑_i B_{2i},∑_i B_{2i-1} \big)$. Así, cada homeomorphism de $X$ tiene una órbita periódica.