Prueba directa de que el centralizador de $GL(V)$ actuando en $V^{\otimes n}$ es distribuido por $S_n$

Question

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre un campo de característica cero. Deje $A$ ser el espacio de los mapas en $\mathrm{End}(V^{\otimes n})$ que conmuta con el natural $GL(V)$ acción. Claramente, cualquier permutación de las tensor de factores es en $A$. Estoy buscando una escuela primaria prueba de que estas permutaciones span $A$.

Si $\dim V \geq n$, no es una simple prueba. Tomar $e_1$, $e_2$, ..., $e_n$ en $V$ linealmente independientes y deje $\alpha \in A$. A continuación, $\alpha(e_1 \otimes e_2 \otimes \cdots \otimes e_n)$ debe ser un $t_1 t_2 \cdots t_n$ autovector por la acción de la matriz $\mathrm{diag}(t_1, t_2, \ldots )$ en $GL(V)$. Por lo $\alpha(e_1 \otimes \cdots \otimes e_n) = \sum_{\sigma \in S_n} c_{\sigma} e_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes e_{\sigma(n)}$ para algunas constantes $c_{\sigma}$. A continuación, es sencillo demostrar que $\alpha$ está dado por la correspondiente combinación lineal de las permutaciones.

Me siento como debería ser elemental, si no muy bien motivado, la extensión del argumento anterior para el caso en que $\dim V < n$, pero no estoy encontrando.

Motivación: estoy planeando un curso sobre la combinatoria lado de $GL_N$ teoría de la representación -- symmetric polinomios, jdt, RSK y, si puedo sacarlo, algunas de las cosas más modernas como los panales de miel y cristales. Desde que se anuncia como una combinatoria supuesto, yo quiero probar un par de resultados clave que dan el diccionario entre la combinatoria y la teoría de la representación y, a continuación, hacer todo el resto en la combinatoria lado. Basado en las conferencias que he expuesto hasta ahora, creo que este será uno de los pocos resultados clave.

El estándar de prueba es demostrar que el centralizador de $k[S_n]$ es distribuido por $GL(V)$, y, a continuación, aplicar el doble centralizador teorema. Aunque el doble centralizador teorema (al menos, más de $\mathbb{C}$) no formalmente implicar cualquier cosa, no voy a estar cubriendo, creo que es bastante difícil de presentar a las personas que no están muy contentos con la teoría de la representación de semi-simple álgebras. Así que estoy en busca de una ruta alternativa.

Answer 1

Deje $W$ ser un espacio vectorial de dimensión $n$ contiene $V$. Deje $\alpha$ ser un endomorfismo de $V^{\otimes n}$ los desplazamientos con la acción de la ${\rm GL}(V)$. Supongamos que $\alpha$ puede ser extendido a un endomorfismo $\beta$ de % de $W^{\otimes n}$ que conmuta con la acción de la ${\rm GL}(W)$. Entonces, por el argumento dado por David Speyer en la pregunta, existen escalares $c_\sigma \in \mathbf{C}$ tal que

$$ \beta = \sum_{\sigma \in S_n} c_\sigma \sigma $$

y esto también se expresa $\alpha$ como una combinación lineal de lugar permutaciones del tensor de factores. (Como he dicho en mi comentario, esta expresión es, en general, lejos de ser único.)

Prueba alguna de que dicha extensión existe debe utilizar el semisimplicity de $\mathbf{C}S_n$, ya que de lo contrario se obtiene una fácil prueba de general de Schur-Weyl dualidad. Si asumimos que el ${\rm GL}(W)$ actúa como el círculo completo de $S_n$-invariante endomorphisms de $W^{\otimes n}$, a continuación, una breve prueba de que es posible. Yo creo que es inevitable que se utiliza muchas de las mismas ideas como la doble centralizador teorema. De una manera más directa la prueba sería muy bienvenido.

Deje $U$ ser un simple $\mathbf{C}S_n$-módulo que aparece en $V^{\otimes n}$. Vamos

$$ X = U_1 \oplus \cdots \oplus U_a \oplus U_{a+1} \oplus \cdots \oplus U_b $$

ser la mayor submódulo de $W^{\otimes n}$ que es una suma directa de simple $\mathbf{C}S_n$-módulos isomorfo a $U$. Podemos elegir la descomposición de modo que $X \cap V^{\otimes n} = U_1 \oplus \cdots \oplus U_a$. Cada mapa de proyección $W^{\otimes n} \rightarrow U_i$ es $S_n$-invariante, y así es inducida por una adecuada combinación lineal de los elementos de ${\rm GL}(W)$. Por lo tanto cada una de las $U_i$ para $1 \le i \le a$ es $\alpha$-invariante. Del mismo modo, para cada par $i$, $j$ hay un isomorfismo $U_i \cong U_j$ inducida por ${\rm GL}(W)$; estos isomorphisms son únicos hasta escalares (por Schur del Lema). El uso de estos isomorphisms tenemos un único ${\rm GL}(W)$-invariante de la extensión de $\alpha$ a $X$.

Por último vamos a $W^{\otimes n} = C \oplus D$ donde $C$ es la suma de todos los simples $\mathbf{C}S_n$-submódulos de $W^{\otimes n}$ isomorfo a un submódulo de $V^{\otimes n}$ e $D$ es un complemento de $\mathbf{C}S_n$-submódulo. El párrafo anterior se extiende $\alpha$ a un mapa de $\beta$ definido en $C$. El mapa de proyección $W^{\otimes n} \rightarrow D$ es $S_n$-invariante y así es inducida por ${\rm GL}(W)$. De ahí que podamos establecer$\beta(D) = 0$, y obtener un ${\rm GL}(W)$-invariante de la extensión de $\beta : W^{\otimes n} \rightarrow W^{\otimes n}$ de % de$\alpha$.

Answer 2

Voy a escribir hasta la Marca de Wildon de la prueba como yo la entiendo. Como en el estándar de la prueba, nos mostrará la Clave Lema que el centralizador de $k[S_n]$ es linealmente se extendió por $GL(V)$. Descomponer $V^{\otimes n}$ a $S_n$-irreps, y deje $\alpha$ ser un endomorfismo de $V^{\otimes n}$ desplazamientos con $GL(V)$. Para cada una irrep $U$ de % de$S_n$, vamos $U_1$, ..., $U_a$ ser las apariciones de $U$ en $V^{\otimes n}$.

Para cualquier $U_i$, considerar el endomorfismo de $V^{\otimes n}$ que actúa por $1$ a $U_i$ y en $0$ en todos los otros sumandos de $V^{\otimes n}$. Este desplazamientos con $k[S_n]$, por tanto, la Clave Lema es una combinación lineal de los mapas en $GL(V)$. Por lo tanto $\alpha$ viajes con ella, lo que significa que $\alpha$ es de $U_i$ a $U_i$ por algún mapa en $\alpha_i$.

Considerar el endomorfismo de $V^{\otimes n}$ que se lleva a $U_i$ a $U_j$ por $S_n$-equivariant endomorfismo y actúa por $0$ en cada sumando de $V^{\otimes n}$. Este desplazamientos con $k[S_n]$, por tanto, la Clave Lema es una combinación lineal de los mapas en $GL(V)$. Por lo tanto $\alpha$ viajes con ella, lo que significa que $\alpha_i = \alpha_j$. (Abusando equivale a decir "es llevado a la otra a lo largo de la isomorfismo $U_i \to U_j$, que es único a escalar".) Escribir $\alpha(U)$ para el valor común de $\alpha_1$, $\alpha_2$, ..., $\alpha_a$.

Ahora hay dos maneras de terminar la prueba.

Argumento estándar: Por Maschke y Artin-Wedderburn, hay un elemento en $k[S_n]$ que actúa sobre cada una irrep $U$ por $\alpha(U)$. Este elemento de $k[S_n]$ induce $\alpha$.

Marca Wildon del Argumento: Vamos a $V \subset W$. Vamos a demostrar que podemos extendida $\alpha$ a un endomorfismo $\beta$ de % de $W^{\otimes n}$ que conmuta con $GL(W)$. Descomponer $W^{\otimes n}$ a $S_n$ irreps, por lo que la anterior descomposición de $V^{\otimes n}$ se produce como un subconjunto de los sumandos. Deje que las apariciones de $U$ ser $U_1 \oplus U_2 \cdots \oplus U_a \oplus \cdots \oplus U_b$. Definir un lineal mapa de $\beta:W^{\otimes n}\to W^{\otimes n}$ a actuar en todo el $U_i$ por $\alpha(U)$ o si $a=0$, de modo que $\alpha(U)$ es indefinido, definir $\beta$ a actuar en el $U_i$ por $0$.

Pretendemos que $\beta$ viajes con $GL(W)$. Prueba: Cualquier elemento de $GL(W)$ viajes con $k[S_n]$. Así que (por Schur del lema), sólo puede map $U_i$ a una combinación lineal de los otros $U_j$'s, y el componente de $\alpha$ asignación de $U_i$ a $U_j$ es un escalar múltiples de la norma isomorfismo. Claramente, $\beta$ conmuta con cualquier mapa de este formulario.

Ahora, por mi argumento en el post original, tome $\dim W \geq n$ a ver que $\beta$ es inducida por un elemento de $S_n$. A continuación, $\alpha$ también es inducida por este elemento de $S_n$.