Esta es una revisión sustancial de mi respuesta original. Ver también el nuevo "Añadido" de la sección para una observación importante por Valentin Blomer, publicado con su permiso.
Teorema. Deje $Q(x_1,\dots,x_k)$ positivo de la integral definida, una forma cuadrática en $k\geq 2$ variables. A continuación, el número de los integrantes de las representaciones de $Q(x_1,\dots,x_k)=n$ satisface
$$r_Q(n)\ll_{k,\epsilon}n^{k/2-1+\epsilon}.$$
El implícita constante que sólo depende de $k$ e $\epsilon$, por lo que es independiente de la de los coeficientes de $Q$.
Prueba. Nos introducirá en $k$, y por simplicidad, no nos indican la dependencia de las constantes en $k$. El caso de $k=2$ es clásica y se va de vuelta a Gauss. Así que vamos a $k\geq 3$, y asumir que la declaración sostiene con $k-1$ en lugar de $k$. Podemos suponer que
$$ Q(x_1,\dots,x_k)=\sum_{1\leq i,j\leq k} a_{ij}x_ix_j$$
es Minkowski reducido. En particular, $a_{ij}=a_{ji}$ y
$$ 0<a_{11}\leq a_{22}\leq\dots\leq a_{kk}. $$
A continuación, tenemos una descomposición
$$ Q(x_1,\dots,x_k)=\sum_{i=1}^k h_i\left(\sum_{i\leq j\leq k}c_{ij}x_j\right)^2,$$
donde $h_i\asymp a_{ii}$, $c_{ii}=1$ y $c_{ij}\ll 1$ (véase el Teorema 3.1 y Lema 1.3 en el Capítulo 12 de Cassels: Racional cuadrática de la forma). En particular, los coeficientes de $Q$ satisfacer
$$ a_{11}\dots a_{kk}\asymp h_1\dots h_k=\det(Q),$$
por lo tanto, también $a_{ij}\ll a_{kk}\ll\det(Q)$ e $h_k\asymp a_{kk}\gg\det(Q)^{1/k}$.
Se corrige el entero positivo $n$, y consideramos que la integral de las representaciones de $Q(x_1,\dots,x_k)=n$. El número de representaciones con $x_k=0$ es
$\ll_{\epsilon}n^{k/2-3/2+\epsilon}$ por la hipótesis de inducción, por lo que podemos centrarnos en las representaciones con $x_k\neq 0$. A partir de lo anterior, vemos de inmediato que $x_k\ll\sqrt{n}\det(Q)^{-1/(2k)}$, y luego también que $x_{k-1}\ll\sqrt{n}$,, a continuación,$x_{k-2}\ll\sqrt{n}$, y así sucesivamente, finalmente,$x_3\ll\sqrt{n}$. De ello se desprende que hay $\ll n^{(k-2)/2}\det(Q)^{-1/(2k)}$ opciones para la $(k-2)$-tupla $(x_3,\dots,x_k)$ tal que $x_k\neq 0$. La fijación de este tipo de tupla,
nos quedamos con un homogénea en representación binaria problema
$$ a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2 + d_1 x_1 + d_2 x_2 + e = 0 $$
fija con coeficientes enteros $d_1,d_2\ll\sqrt{n}\det(Q)$ e $e\ll n\det(Q)$. Usando el Lema 8 en este papel de Blomer y Pohl, se deduce que el número de opciones para $(x_1,x_2)$ es $\ll_\epsilon n^\epsilon\det(Q)^\epsilon$. Resumiendo, obtenemos
$$ r_Q(n)\ll_{\epsilon} n^{k/2-3/2+\epsilon} + n^{(k-2)/2+\epsilon}\det(Q)^{-1/(2k)+\epsilon} \ll n^{k/2-1+\epsilon},$$
y hemos terminado.
Añadido. He estado en contacto con Valentin Blomer acerca de la pregunta original, y mi respuesta anterior incorporado una clave de entrada a partir de él. Lo que es más importante, se dio cuenta de que el argumento anterior, junto con algunos automorphic de entrada permite demostrar, para el caso de $k=4$ variables, el llamativo uniforme límite superior (con una absoluta implícita constante)
$$r_Q(n) \ll \sigma(n).$$
Aquí está el argumento de Valentin Blomer, publicado con su permiso.
Para $n\leq\det(Q)^{10}$, la última línea de la perspectiva de la prueba anterior da
$$ r_Q(n)\ll_{\epsilon} n^{1/2+\epsilon} + n^{1+\epsilon}\det(Q)^{-1/8+\epsilon} \ll n^{79/80+2\epsilon},$$
por lo que podemos (y debemos) suponga que $n>\det(Q)^{10}$. Se descompone la $\theta$-de la serie de $Q$ únicamente como
$$\theta_Q(z) = E(z) +S(z) = \sum_{n=1}^\infty a(n) e(nz) + \sum_{n=1}^\infty b(n) e(nz)$$ into an Eisenstein series and a cusp form of weight $2$ and level $N$, which is the level of $P$. Accordingly, $r_Q(n)=a(n)+b(n)$, por lo que es suficiente para mostrar que
$a(n)\ll\sigma(n)$ e $b(n)\ll\sigma(n)$. El primer obligado fue demostrado por Gogishvili (georgia Matemáticas. J. 13 (2006), 687-691.), como se desprende de (2) y (13)-(14) en su papel. Por lo tanto, es suficiente para demostrar la segunda obligado. Escribimos
$$S = \sum_{f \in B} c(f) f$$
en términos de un ortonormales Hecke eigenbasis $B$ para $S_2(N, \chi)$ donde $\chi$ es una ecuación cuadrática carácter y el interior del producto está dada por
$$(f, g) = \int_{\Gamma_0(N)\backslash \mathcal{H}} f(z)\bar{g}(z) \frac {dx\, dy}{y^2}.$$
Escribimos $f(z) = \sum_n \lambda_f(n) e(nz)$, por lo que el $b(n) = \sum_f c(f) \lambda_f(n)$. Debemos evitar el uso de Eichler/Deligne, entre otras cosas, porque nos obligaría a tratar con oldforms cuidadosamente. En su lugar, utilizamos la Petersson fórmula y Weil obligado para sumas de Kloosterman (junto con la de Cauchy-Schwarz y Parseval):
$$\begin{split}
|b(n) |^2 \| S \|_2^{-2} n^{-1} & \leq n^{-1} \sum_f |\lambda_f(n)|^2 \ll 1 + \sum_{c} \frac{1}{c} S_{\chi}(n, n, c) J_1\left(\frac{4\pi n}{c}\right)\\
& \ll 1 + \sum_{c} \frac{(n, c)^{1/2}\tau(c)}{c^{1/2}} \min\left(\frac{n}{c}, \frac{c^{1/2}}{n^{1/2}}\right) \ll_\epsilon n^{1/2 + \epsilon},
\end{split}$$
así que
$$b(n) \ll_\epsilon \| S \|_2 n^{3/4 + \epsilon}.$$
Tenemos, por el Lema 4.2 de Blomer (Acta Arith. 114 (2004), 1-21.),
$$\| S \|_2 \ll_\epsilon \det(Q)^{2+\epsilon},$$
donde en la final
$$b(n) \ll_\epsilon \det(Q)^{2+\epsilon} n^{3/4 + \epsilon} \leq n^{19/20+2\epsilon}.$$
Esto concluye la prueba. Tomamos nota de que para el trenzado Kloosterman suma, la de Weil-Estermann obligado no es siempre cierto para los mayores el primer poderes, véase la Sección 9 de Caballería-Li (Mem. Amer. De matemáticas. Soc. 224 (2013), no. 1055), pero es cierto para el caso de los cuadrática de caracteres que estamos utilizando aquí.
