¿Hay algún sentido en el que la categoría $sVect$ de los espacios supervectoriales es el " máxima extensión no trivial " de $Vect$ como una categoría monoidal simétrica?
¿Es el $\mathbb Z/2$ que aparece en la definición de $sVect$ algún tipo de grupo homológico de $Vect$ ?
Esto será un poco impreciso, pero espero que si necesitas un resultado preciso como este puedas completar los detalles.
En primer lugar, Vect no sólo tiene la estructura monoidal simétrica, sino también la suma directa. Si no se buscan extensiones que sean lineales para la suma directa, entonces creo que se pueden formar extensiones locas que se comportan de manera diferente dependiendo de la dimensión del espacio vectorial.
Pero supongamos que su extensión es lineal y que todo en la extensión E es una suma directa de elementos en la categoría picardiana pic(E) dentro de su categoría simétrica monoidal.
Bajo estos supuestos, la extensión de las categorías monoidales simétricas
$$ Vect \to E $$
está completamente determinada por una extensión de grupos simétricos monoidales de 2:
$$ pic(Vect) \to pic(E)$$
Ahora bien, un grupo monoidal simétrico de 2 se clasifica por dos grupos abelianos: los objetos $\pi_0$ los automorfismos de la identidad $\pi_1$ y una k-invariante (estable): $$k : \mathbb{Z}/2 \otimes \pi_0 \to \pi_1 $$
Esto más tarde es lo mismo que un mapa de $\pi_0$ en la 2-torsión de $\pi_1$ .
Para $pic(vect) = lines$ tenemos $\pi_0 = 0$ y $\pi_1 = K^{\times}$ , el grupo de unidades uf de su campo de tierra. La extensión universal tiene entonces el mismo $\pi_1$ , pero tiene $\pi_0$ igual a la 2-torsión (multiplicativa) de $\pi_1$ con la canónica $k$ -invariante.
Si no está en la característica 2, esto significa $\pi_0 \; pic(E)= \mathbb{Z}/2$ y E es un superespacio vectorial.
Si estás en la característica 2, entonces sVect es lo mismo que los espacios vectoriales graduados en Z/2 y ya no es universal (la extensión se divide en el sentido que describes en tu comentario).
No estoy seguro de si eso es lo que quieres, pero déjame intentarlo. Cuando oigo hablar de extensiones, una de las imágenes que tengo en mi mente es algo así como productos cruzados, y quiero impulsar esa analogía. Hay una acción de $Vect$ sobre sí misma dada por la estructura monoidal (además, hay una acción izquierda y otra derecha, pero como la categoría es simétrica, los isomorfismos naturales nos permiten identificarlas). Permítanme, para enfatizar a dónde quiero llegar, denotar la categoría que actúa por $Vect_0$ y la categoría sobre la que actúa $Vect_1$ . Al intentar utilizar nuestra acción de $Vect_0$ en $Vect_1$ para formar una extensión, necesitamos definir la estructura monoidal $Ob(Vect_1)\otimes Ob(Vect_1)\to Ob(Vect_0)$ y los isomorfismos de simetría. Creo que la compatibilidad con lo que ya tenemos obligará casi probablemente a que la estructura monoidal sea el producto tensorial, y luego hay una cuestión de qué tipo de libertad se tiene para definir los isomorfismos de simetría. En conjunto, esto debería conducir naturalmente a un superespacio vectorial. Desgraciadamente, se hace un caso muy particular de extensión, algo así como un producto cruzado con el módulo regular.
Pero quizá sea demasiado tonto, en cuyo caso tiene mis más sinceras disculpas.
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