Estricto de las aplicaciones de la deformación de la teoría en la que mojar el dedo del pie

Question

No me atrevo a hacer una pregunta como esta, pero realmente me han tratado de encontrar respuestas a esta pregunta en mi propia y parece que se quedan cortos. Yo admito que esto es debido a mi ignorancia de la geometría algebraica y no saber dónde buscar... Entonces me di, que es lo que este sitio es para!

Aquí está el resumen:

¿Cuáles son algunos ejemplos de estricta aplicaciones de la teoría de la deformación? Es decir, ¿cuáles son ejemplos de problemas que pueden ser declarado sin mencionar la deformación de la teoría o de los módulos de los espacios y una de cuyas soluciones se utiliza la deformación de la teoría? Por favor, indique el problema, precisamente, en su respuesta, y proporcionar una referencia, si es posible :)

Aquí está el largo de la misma:

Realmente quiero nadar en el Kool-Aid de la fuente de la deformación de la teoría y el sabor de su dulce, dulce púrpura amor, pero estoy teniendo problemas. Cuando yo quería aprender acerca de K-teoría, me enteré a través de la solución para el invariante de Hopf de un problema, la solución a los campos vectoriales en las esferas problema, y a través de la Adams conjetura. Cuando quise aprender algunos equivariant cosas, era bueno tener la solución a la Kervaire invariante de un problema como una fuerza de cambio. Tengo problemas en el aprendizaje de las cosas en una burbuja, necesito al menos un ligero empujón.

Ahora, yo sé que la deformación de la teoría es útil para la construcción de espacios de moduli, pero el problema es que, aparte de los que aparecen en homotopy teoría, no he completamente sumergidos en este mar de la bondad tampoco. La excepción sería un ejemplo de una aplicación estricta de que se utiliza la deformación de la teoría para la construcción de algún espacio de moduli y, a continuación, utiliza este espacio para demostrar algunas de las sabrosas hecho.

Para darte una idea, aquí son sólo ejemplos que he encontrado (de preguntas) que se ajusta a mi criterio:

1. Shaferavich-Parshin. Deje $B$ ser suave, adecuada curva sobre un campo y fijar un número entero $g \ge 2$. A continuación, hay sólo un número finito no isotrivial (es decir, puntos generales en base no es isomorfo fibras), las familias de curvas de $X \rightarrow B$, que es suave y adecuado y tener fibras de género $g$.
2. Dado $g\ge 0$, después de cada curva, de género $g$ tiene un no constante mapa a $\mathbb{P}^1$ de grado en la mayoría de las $d$ siempre $2d - 2 \ge g$.
3. Hay un número finito de curvas de un género a través de una finito de campo.
4. La solución a la Taniyama-Shimura conjetura utiliza las deformaciones de Galois reps.

1, 2, y 3 son robados de Osserman realmente genial nota: https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/clases/256 BIS/notas/deformar.pdf

Me gusta mucho el tema de la " muestran que hay un número finito de gadgets mediante la parametrización de estos aparatos por un espacio de moduli con algún tipo de finito tipo de asunción, a continuación, mostrar ningún momento admite que no sea trivial deformaciones.' Cualquiera de los ejemplos de este tipo serían doblemente apreciado. (Supongo que Kovács y Lieblich tener un anales de papel donde hacen algo a lo largo de estas líneas para el de mayores dimensiones de la versión de la Shaferavich conjetura, pero desde que terminan de contar la deformación tipos de cosas en lugar de las cosas, que no encaja en los criterios en mi pregunta... pero aún así es bueno!)

Galois representaciones son sin duda una gran cosa, y yo estaría muy agradecido por cualquier aplicación de su deformación teoría de que es más elemental que, digamos... el Taniyama-Shimura conjetura.

Así que sí, eso es. Hacer proselitismo, laud, poéticamente - hacer Pat Benatar orgulloso.

Answer 1

Uno de mis ejemplos favoritos es el siguiente teorema, debido a la S. Mori:

Teorema A. Deje $X$ ser suave, un complejo proyectiva variedad tal que $-K_X$ es suficiente. A continuación, $X$ contiene un racionales de la curva. De hecho, a través de cualquier punto de $x \in X$ hay una racionales de la curva de $D$ tal que $$ 0 < -(D \cdot K_X )\leq \dim X+1.$$

En otras palabras, suave Fano variedades de más de $\mathbb{C}$ son uniruled.

La prueba de este hermoso resultado se utiliza la deformación de la teoría en un lugar muy llamativo manera. La idea es la siguiente. Una primera toma de cualquier mapa de $f \colon C \to X$ donde $C$ es una curva suave con un punto marcado $0$ tal que $f(0)=x$.

Ahora por deformación de la teoría de los mapas que uno sabe que, si se requiere que la imagen de $0 \in C$ es fijo, los morfismos $f$ tiene una deformación del espacio de dimensión al menos $$h^0(C, f^*T_X)-h^1(C, f^*T_X) - \dim X = -((f_*C) \cdot K_X)-g(C) \cdot \dim X.$$

Por ello, siempre que la cantidad de $-((f_*C) \cdot K_X)-g(C) \cdot \dim X$ es positivo, no debe ser un no-trivial de la familia de las deformaciones de la mapa de $f \colon C \to X$ manteniendo la imagen de $0$ fijo. Luego, por otro resultado de Mori conocido como doblarse y romperse, uno es capaz de mostrar que en algún punto de la imagen de la curva se divide en varios componentes y que uno de ellos es necesariamente racional de la curva que pasa a través de $x$.

En cambio, cuando se $-((f_*C) \cdot K_X)-g(C) \cdot \dim X$ no es positivo, estamos en problemas. Pero aquí viene otra brillante idea de Mori: vamos a pasar a la característica positiva! De hecho, en característica positiva podemos componer $f \colon C \to X$ con (algo de poder de) la Frobenius endomorfismo $F_p \colon C \to C$. Esto aumenta la cantidad de $-((f_*C) \cdot K_X)$ sin cambio $g(C)$ y nos permite obtener una deformación del espacio que nuevamente ha estrictamente dimensión positiva. Así, utilizando el argumento anterior (deformación de la teoría de los mapas + doblarse y romperse), para cualquier primer entero $p$ somos capaces de encontrar un racionales de la curva a través de $x_p \in X_p$ donde $X_p$ es la reducción de $X$ modulo $p$ (por el bien de la simplicidad estoy asumiendo que $X$ está definida sobre los números enteros).

Por último, un sencillo argumento mediante la eliminación de la teoría muestra que si $X_p$ admite un racionales de la curva a través de $x_p$ por cada prime $p$,, a continuación, $X$ admite un racionales de la curva a través de $x$, demasiado.

Merece la pena destacar que no hay prueba del Teorema $A$ evitando la característica $p$ de reducción que se conoce actualmente.

Este tipo de argumento fue utilizado por primera vez por Mori con el fin de demostrar el siguiente teorema, que se asienta una conjetura debido a Hartshorne:

Teorema B. Si $X$ es un buen complejo proyectiva variedad de dimensión$n$, con un amplio tangente paquete, a continuación, $X \cong \mathbb{P}^n.$

Ver [S. Mori, Proyectiva colectores con un amplio tangente paquete, Ann. de Matemáticas. 110 (1979)].

Más detalles sobre el Teorema de $A$ (así como completar la prueba) se puede encontrar en los libros [Debarre: Mayores dimensiones de la geometría algebraica] y [Kollar-Mori, Birational geometría de variedades algebraicas].

Answer 2

Aquí están algunos ejemplos bien conocidos que no son de algebro-geométricas de la naturaleza, donde el problema se resolvió a través de una reducción a una deformación del problema/espacio de moduli problema:

1. Donaldson a trabajar en la intersección de las formas de lisa simplemente conectado a 4-variedades (definido formularios deben ser diagonalizable); el espacio de moduli en este caso es el espacio de instantons (auto-doble de conexiones).

2. Thurston del trabajo en hyperbolization de Haken 3-variedades. El espacio de moduli en cuestión fue el carácter de la variedad, es decir, del espacio de moduli de $SL(2,C)$-la representación del grupo fundamental. El problema de hyperbolization fue reducido por Thurston a un determinado punto fijo problema (en realidad, dos ligeramente diferentes problemas en función de la existencia de fibration sobre el circulo) para débilmente contratante mapa y resolver de esta manera.

3. Margulis' arithmeticity teorema: Todos los rreducible de celosía en un rango superior Lie semisimple grupo $G$ es la aritmética. El primer paso de la prueba (en realidad, debido a Selberg) es ver en el carácter de la variedad, que se define sobre $Z$ y observar que los puntos aislados se fija por un número finito de índice de un subgrupo de la absoluta Galois grupo. Esto implica que el enrejado es conjugado a un subgrupo de $G(F)$ donde $F$ es un campo de número. El espacio de moduli en este caso es de nuevo un carácter de la variedad.

4. Cualquiera de los cientos (si no miles) de artículos acerca de la aplicación de la teoría de gauge a la baja-dimensional ($\le 4$) topología, o incluso de mayores dimensiones de la topología como en Ciprian Manolescu reciente de la refutación de la triangulación de la conjetura.