Transformada discreta de Fourier de la función de Möbius

Question

Consideremos la función de Möbius $\mu (m)$ . (Así $\mu(m)=0$ a menos que todos los factores primos de $m$ aparecen una vez y $\mu (m)=(-1)^r$ si $m$ tiene $r$ factores primos distintos). A continuación consideremos para algún número natural $n$ la transformada discreta de Fourier

$$\hat \mu (k)= \frac1n \sum _{r=0}^{n-1} \mu(r)e^{2 \pi i rk/n}.$$

Así que $\sum _{k=0}^{n-1} |\hat{\mu} (k)|^2$ es aproximadamente $6/\pi ^2$ y el teorema de los números primos afirma que $\hat \mu(0)=o(1)$ ;

Mis preguntas son:

1) ¿Es cierto (o incluso obvio basándose en la PNT?) que los coeficientes individuales tienden a 0?

2) ¿Se sabe que $\sum_{k=0}^{s}|\hat \mu (k)|^2=o(1)$ , donde digamos $s=\log n^A$ o tal vez para alguna otra cosa específica $s$ ¿Coeficientes de Fourier? (Aquí $A$ se supone que es un gran real incluso tan grande como alguna gran potencia de $\log \log n$ pero también puede ser un pequeño real).

3) ¿Se sabe acaso que la suma de los cuadrados del mayor (en valor absoluto) $s$ Los coeficientes de Fourier son $o(1)$ ? Cuando $s=$ algún poder de $\log n$ como en el caso anterior?

4) ¿Cuál se espera que sea el valor correcto de $s$ para que la suma de cuadrados del valor absoluto del mayor $s$ Los coeficientes de Fourier ya no son $o(1)$ ?

ACTUALIZACIÓN y PREGUNTA DE SEGUIMIENTO:

Las respuestas que aparecen a continuación dan una muy buena idea de lo que se conoce para los coeficientes individuales de Fourier incondicionalmente y bajo GRH. Todavía tengo curiosidad por saber si hay algunos casos en los que se pueda dar una cota sobre la contribución de un grupo de coeficientes de Fourier que sea mejor que la que se obtiene de los coeficientes individuales. Así que aquí hay una pregunta:

5) Que $n$ sea un número entero positivo. Sea $\cal P$ sean sus factores primos y que $Q(n,r)$ sean todos los divisores de $n$ que implican como máximo $r$ primos en ${\cal P}$ .

Considere $$\sum _{k \in Q(n,r)} |\hat{\mu} (k)|^2.$$

Ahora, a partir del resultado sobre los coeficientes individuales, sabemos que esta suma es o(1) para cada $n$ si $r$ está acotado. ¿Es posible demostrar que la suma es o(1) incluso cuando $r$ es una función específica de crecimiento muy lento de n, donde el límite de los coeficientes individuales no es lo suficientemente bueno? (Podemos plantear una pregunta similar sobre la mejora de la cota de los coeficientes individuales para $P(n,r)$ el conjunto de todos los divisores de $n$ que son el producto de como máximo $r$ primos en ${\cal P}$ .) Este ejemplo está orientado a la extensión específica para los coeficientes de Walsh-Fourier. Pero ahí parece que el conocimiento sobre los coeficientes individuales ucondicionalmente y bajo GRH es más débil. FIN DE LA ACTUALIZACIÓN

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La motivación vino de una cierta extensión de la complejidad computacional del teorema del número primo que se discute aquí y aquí . Para la conjetura necesitaremos expansiones de Walsh en lugar de la expansión de Fourier y necesitaremos (3) para los coeficientes de Walsh correspondientes a conjuntos de tamaño $(\log n)^{(\log \log n)^t}$ .

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Aquí hay una pregunta de seguimiento de MO sobre la transformada de Walsh-Fourier] 3 que tiene aplicaciones directas a la cuestión de la complejidad computacional. ¡"Transformar" las respuestas dadas aquí de la transformada de Fourier a la transformada de Walsh-Fourier tendrá ya interesantes consecuencias!

Answer 1

Aquí está la respuesta a 1. Se sabe que para cualquier $A > 0$ que $\sum_{m \leq x} \mu(m) e(\alpha m) = O_A(x (\log{x})^{-A})$ uniformemente en $\alpha$ . Por ejemplo, consulte el teorema 13.10 del libro de Iwaniec y Kowalski, Analytic Number Theory. Este límite uniforme proviene de la combinación de la región libre de cero de las funciones L de Dirichlet con el método de Vinogradov. Este límite muestra que $|\hat{\mu}(k)| \leq C_A (\log{n})^{-A}$ .

Esto da 2) para $A$ arreglado. Edición 1: También da 3).

Edición 2: Supongo que la verdad es que $|\hat{\mu}(k)| \leq C(\varepsilon) n^{-1/2 + \varepsilon}$ así que $s$ tendría que ser casi tan grande como $n$ para conseguir cualquier cosa que no sea $o(1)$ .

Answer 2

El alto nivel de abstracción que sostienen los teóricos de los números es una fuente continua de asombro para mí... ¿es que nadie quiere ver lo que $\hat\mu(k,n)$ concretamente mira ¿Cómo?

Así que ¡hagámoslo! Principalmente por diversión (y como un gesto de respeto a Gil), aquí hay una trama de densidad de $n^{1/2} \hat\mu(k,n)$ para todos los valores $(n,k) \in 1,1024$ (nótese que un factor de normalización $n^{1/2}$ se incluye; esta escala produce una luminancia casi uniforme en el gráfico):

(gráfico canónico de Moebius) http://faculty.washington.edu/sidles/Moebius/Moebius__1024_canonical.png

Como es habitual, el argumento (fase) de $\hat\mu(k,n)$ se codifica como tono, y la magnitud como saturación y valor. Para más detalles, véase el Código de Mathematica que produjo el gráfico anterior (para mucha gente, el aspecto más interesante del código será el lenguaje para exportar los gráficos de Mathematica a archivos png; ciertamente esta es la parte más larga del código, y la más difícil de depurar).

Este código de códigos nos anima a hacer experimentos numéricos...

¿Qué ocurre si aleatorizamos el signo de la función de Möbius?

(gráfico canónico de Moebius) http://faculty.washington.edu/sidles/Moebius/Moebius__1024_randomized.png

Hmmm... cuando aleatorizamos el signo de la función Möbius, $\hat\mu(k,n)$ no parece muy diferente, ¿verdad?

Por otro lado, sabemos (por otros experimentos numéricos) que cuando calculamos una función pseudo-Riemann $\zeta^\prime(s) = (\sum_{r=1}^\infty \mu(r)/r^s)^{-1}$ utilizando una función de Möbius de signo aleatorio, entonces el $\zeta^\prime(s)$ tiene una distribución de ceros que es muy diferente de la distribución de ceros en $\zeta(s)$ (para ver esto, sólo hay que probarlo).

En resumen, las propiedades especiales de la distribución de los primos (en relación con las distribuciones aleatorias) que son tan claramente evidentes cuando "miramos" los ceros de $\zeta(s)$ no son inmediatamente evidentes cuando "miramos" la magnitud y la fase de $\hat\mu(k,n)$ .

En cuanto a lo que significa esta observación (si es que significa algo)... bueno... eso lo tienen que comentar los teóricos de los números, no yo :)

Answer 3

Ampliando la respuesta de Matt, es posible demostrar sin demasiada dificultad (ver aquí (ejercicio 3 de la sección 18.2.1) que si $(a,q) = 1$ entonces $$\sum_{n \leq x}{\mu(n) e^{2\pi i an/q}} = \sum_{d \mid q} \frac{\mu(d)}{\varphi(q/d)} \sum_{\chi \pmod{q/d}} \tau(\overline{\chi}) \chi(a) M\left(\frac{x}{d}; \chi \chi_{0(d)}\right),$$ donde la suma interna es sobre todos los caracteres de Dirichlet módulo $q/d$ , $\tau(\overline{\chi})$ es la suma de Gauss de $\overline{\chi}$ , $\chi_{0(d)}$ es el carácter principal módulo $d$ y $$M(x ; \chi) = \sum_{n \leq x}{\mu(n) \chi(n)}.$$ Un cálculo bastante sencillo (utilizando los productos de Euler y el hecho de que $\mu(n) \chi(n)$ es multiplicativo) muestra que para $\Re(s) > 1$ , $$\frac{1}{L(s,\chi)} = s \int_{1}^{\infty} \frac{M(x ; \chi)}{x^s} \: \frac{dx}{x}.$$ Así que se puede utilizar la fórmula de Perron para invertir esta relación, y luego aplicar el método clásico de empujar la integral a la izquierda de la línea $\Re(s) > 1$ y utilizar las estimaciones sobre $1/L(s,\chi)$ en la región libre de ceros para obtener la cota deseada en $$\sum_{n \leq x}\mu(n) e^{2\pi i an/q}.$$ Aunque esto no parece dar un límite uniforme, las notas de Montgomery y Vaughan esbozan (Q1-Q5 de la misma sección) cómo obtener límites uniformes en $\alpha$ .

Obsérvese también que es bastante fácil demostrar que para cada $\varepsilon > 0$ , $$\sum_{n \leq x}{\mu(n) e^{2\pi i n \alpha}} = O(x^{1/2 + \varepsilon})$$ para casi todos $\alpha \in \mathbb{R}$ Esto es una simple aplicación del teorema de Carleson sobre la convergencia puntual en casi todas partes de un $L^2$ -a su serie de Fourier. Desgraciadamente, esto no es cuantitativo; no podemos decir que esto se aplique a los racionales $\alpha$ (si no, podríamos demostrar la GRH).