Nilpotency de un grupo de mirar los pedidos de elementos de

Question

Para cualquier grupo finito $G$, vamos $$\theta(G) := \sum_{g \in G} \frac{o(g)}{\phi(o(g))},$$ donde $o(g)$ indica el orden de los elementos $g$ en $G$, y donde $\phi$ es el de Euler totient función.

No es demasiado difícil ver que si $G$ es nilpotent, a continuación, $\theta(G)$ es de hecho igual a $\sigma(|G|)$, es decir, la suma de los divisores de $|G|$. Sin embargo, parece que $\theta(G)$ es siempre menor o igual a $\sigma(|G|)$, y que la igualdad se tiene si y sólo si $G$ es nilpotent.

Mi pregunta es doble: (1) Es esta afirmación verdadera? (2) ¿Qué tipo de "natural" propiedades de los grupos (tales como nilpotency) hay que puede comprobarse por sólo mirar a las órdenes de los elementos del grupo?

Answer 1

Nilpotency parece ser el único caso fácil. John Thompson pidió hace muchos años, si uno podría decir si un grupo finito es solucionable por las órdenes de sus elementos y como yo sé que esto está todavía abierto (lo que es equivalente, incrustar los dos grupos H y K de orden n en G:=Sym(n) a través de los regulares de la representación. Tener la misma colección de órdenes (como un conjunto múltiple) es exactamente diciendo que la inducida por los personajes de la trivial representación de H o K y G son las mismas.

Creo también que uno puede demostrar que la reclamación (1) al menos para G solucionable por tomar un mínimo de normal subgrupo N de G que es un elemental abelian p-grupo y mostrando que esta función más de un coset gN es en la mayoría de los mismos para nilpotent grupo y si algún elemento en el coset ha pedido prime a p, entonces esto va a ser siempre menor que la respuesta en un nilpotent grupo mientras que el g no conmuta con N. Esto muestra que una mínima contraejemplo habría trivial de Ajuste de los subgrupos y tal vez se puede reducir para el caso de simple grupos. Por el momento, no veo cómo mostrar este de la desigualdad de la simple grupos.

Answer 2

(He puesto esto como una respuesta, ya no quiero entrar en el siguiente matemáticas en el cuadro de comentario. Responde a Tom de Medt la pregunta en mi comentario de Robert Guralnick la respuesta.)
Nilpotency se puede comprobar mirando sólo a las órdenes de los elementos: Escribir $e_G(k)$ para el número de elementos de orden $k$ en $G$. Como señalé en ese comentario, nilpotency de $G$ implica multiplicidad de $e_G$ en coprime elementos, ya que $G$ es el producto directo de los subgrupos de Sylow.
De hecho, uno puede hacer algo más precisa instrucciones: Vamos a $p$ ser una de las primeras y $|G|_p$ la $p$-parte de $|G|$, y la nota que
$$ \sum_{i\geq 0} e_G(p^i) \geq | G |_p ,$$ con igualdad si y sólo si solo hay una Sylow $p$-subgrupo de $G$. Así que uno puede decir de las órdenes de si $G$ tiene un normal Sylow $p$-subgrupo. $G$ es nilpotent iff todos los subgrupos de Sylow son normales.
Buscando en la multiplicidad de $e_G$ fue quizás la más complicada de lo necesario, pero aquí es una justificación de la afirmación de mi comentario: Si $e_G$ es multiplicativo, entonces $$ |G| = \prod_{p } |G|_p \leq \prod_{p } \sum_{i\geq 0} e_G(p^i) = \sum_{k\geq 0} e_G(k) = |G|, $$ y así, el "$\leq$" debe ser un "$=$", que a su vez implica a todos los Sylow $p$-subgrupos son normales.