¿Es todo anillo conmutativo un límite de anillos noetherianos?

Question

Edición del 14 de febrero de 2019. Tras la respuesta aceptada de Laurent Moret-Bailly, sólo quedan abiertas las preguntas 4 y 5. La pregunta 4 no me interesa mucho, pero tengo mucha curiosidad por la pregunta 5, que es

¿Existen siempre coproductos binarios en la categoría de anillos conmutativos noetherianos?

Fin de la edición.

Le pregunté al pregunta en el Stackexchange de Matemáticas, pero no obtuve respuesta.

Dejemos que $\mathsf{Noeth}$ sea la categoría de anillos noeterianos, vista como una subcategoría completa de la categoría $\mathsf{CRing}$ de anillos conmutativos con uno.

Dejemos que $A$ estar en $\mathsf{CRing}$ .

Pregunta 1. ¿Existe un functor de una categoría pequeña a $\mathsf{Noeth}$ cuyo límite en $\mathsf{CRing}$ es $A$ ?

Dejemos que $f:A\to B$ sea un morfismo en $\mathsf{CRing}$ tal que el mapa $$ \circ f:\text{Hom}_{\mathsf{CRing}}(B,C)\to\text{Hom}_{\mathsf{CRing}}(A,C) $$ enviando $g$ a $g\circ f$ es biyectiva para todo $C$ sur $\mathsf{Noeth}$ .

Pregunta 2. ¿Implica esto que $f$ es un isomorfismo?

El sí a la pregunta 1 implicaría el sí a la pregunta 2.

Pregunta 3. ¿El functor de inclusión $\iota:\mathsf{Noeth}\to\mathsf{CRing}$ ¿compartir con colimits? Es decir, si $A\in\mathsf{Noeth}$ es el colímite de un functor $\alpha$ de una pequeña categoría a $\mathsf{Noeth}$ es $A$ es naturalmente isomorfo al colímite de $\iota\circ\alpha$ ?

La respuesta afirmativa a la pregunta 2 implicaría la respuesta afirmativa a la pregunta 3, y la respuesta afirmativa a la pregunta 3 implicaría que muchos colímites, y en particular muchos coproductos binarios, hacen no existen en $\mathsf{Noeth}$ : ver esta respuesta de Martin Brandenburg.

He aquí dos casos particulares de las preguntas anteriores:

Pregunta 4. Es $\mathbb Z[x_1,x_2,\dots]$ ¿un límite de anillos noetherianos?

(El $x_i$ son indeterminados).

Pregunta 5. ¿Existen coproductos binarios en $\mathsf{Noeth}$ ?

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Se puede intentar atacar la primera cuestión de la siguiente manera:

Dejemos que $A$ estar en $\mathsf{CRing}$ et $I$ el conjunto de esos ideales $\mathfrak a$ de $A$ tal que $A/\mathfrak a$ es noetheriano. Entonces $I$ es un conjunto ordenado y, por tanto, puede considerarse una categoría. Podemos formar el límite de la $A/\mathfrak a$ avec $\mathfrak a\in I$ y tenemos un morfismo natural desde $A$ hasta este límite. Me interesaría saber si este morfismo es biyectivo. [Editar. Por un comentario de Laurent Moret-Bailly el morfismo en cuestión no es siempre biyectivo].

Answer 1

La respuesta es no a todas las preguntas excepto a la 4.

Respuestas negativas a 1,2 y 3 : Es fácil construir un anillo $A$ con un elemento $a$ satisfactorio:
(i) $a0$ ,
(ii) $a$ es nilpotente,
(iii) para cada $n1$ hay $y_n\in A$ tal que $a=y_n^n$ .

Para cada morfismo $\varphi:A\to C$ la imagen de $a$ hereda las propiedades (ii) y (iii), por lo que es cero si $C$ es noetheriano (observe que el radical de $C$ es de generación finita, por tanto nilpotente). En otras palabras, cualquier morfismo de $A$ a un anillo noetheriano $C$ factores a través de $B:=A/(a)$ y, por supuesto, lo mismo ocurre si $C$ es un límite de anillos noetherianos. Esto demuestra que $A$ no es un límite de este tipo ( Pregunta 1 ) y el morfismo natural $A\to B$ proporciona una respuesta negativa a Pregunta 2 .

Para Pregunta 3 consideremos el siguiente caso especial: dejemos que $k$ sea un anillo noeteriano no nulo y tome $$A:=k[X_1,X_2,\dots]/(X_1, X_{mn}^m-X_n)_{m,n1}.$$ Si $x_n$ denota la clase de $X_n$ , comprobamos fácilmente que $x_n^n=0$ para todos $n$ , $x_n0$ si $n2$ y cada $x_n$ es un $m$ -en el poder para todos $m$ . Si $\varphi:A\to C$ es un morfismo con $C$ noetheriano, el argumento anterior (con $a=$ cualquier $x_n$ ) muestra que $\varphi$ factores a través de $A/(x_n)_{n1}\cong k$ . Ahora bien, si $\Lambda$ es el conjunto ordenado de los géneros finitos $k$ -subálgebras de $A$ Entonces, por supuesto $A$ es el colímite de $\Lambda$ en CRing, pero lo anterior muestra que hay un colímite en Noeth, que es $k$ .

Respuesta positiva a la 4 : $\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots]$ es un dominio de Krull (incluso un UFD), por lo tanto una intersección de anillos de valoración discretos dentro de su campo de fracción.

Respuesta negativa al 5 : Dado un anillo $R$ llamemos a un noetheriano $R$ -Álgebra $S$ a casco noetheriano de $R$ si es un objeto inicial de la categoría de los noetherianos $R$ -algebras.

Propuesta. Si $R$ tiene un casco noetheriano $S$ el mapa natural $\mathrm{Spec}(S)\to \mathrm{Spec}(R)$ es sobreyectiva. En particular, $\mathrm{Spec}(R)$ es un espacio noetheriano.
Prueba: para cada $p\in \mathrm{Spec}(R)$ su campo de residuos $\kappa(p)$ (es decir $\mathrm{Frac}(R/p)$ ) es un noetheriano $R$ -y, por lo tanto, el $R\to\kappa(p)$ factores a través de $S$ . QED
(Observación: es fácil ver que $\mathrm{Spec}(S)\to \mathrm{Spec}(R)$ es de hecho biyectiva, con extensiones de campo de residuos triviales).

Ahora, si $A$ et $B$ son dos anillos noeterianos, un coproducto de $A$ et $B$ en Noeth es lo mismo que un casco noetheriano de $A\otimes B$ Esto se desprende de las propiedades universales. Así, para responder negativamente a la pregunta 5, basta con encontrar dos anillos noetéricos $A$ , $B$ tal que $\mathrm{Spec}(A\otimes B)$ no es un espacio noetheriano. Hay muchos ejemplos, por ejemplo $A=B=\overline{\mathbb{Q}}$ .

Nota: El mismo ejemplo fue dado por François Brunault en su respuesta, con un argumento diferente. Como he editado mi respuesta varias veces, ¡no estoy seguro de quién fue el primero!

Answer 2

Los coproductos binarios no siempre existen en $\textrm{Noeth}$ .

Supongamos que el coproducto $C=\overline{\mathbb{Q}} \sqcup \overline{\mathbb{Q}}$ existe en $\textrm{Noeth}$ . Dejar $A=\overline{\mathbb{Q}} \otimes_{\mathbb{Z}} \overline{\mathbb{Q}}$ tenemos entonces un mapa anular canónico $\varphi : A \to C$ . Ahora la idea es considerar algún tipo de terminación de $A$ similar a la que sugieres en el último párrafo de tu pregunta: por cada $\sigma \in G=\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ hay un cociente noetheriano $\mu_\sigma : A \to \overline{\mathbb{Q}}$ dado por $\mu_\sigma(x \otimes y)=x \sigma(y)$ . Además, el morfismo resultante $i : A \to \prod_G \overline{\mathbb{Q}}$ es inyectiva (esto se puede comprobar restringiendo a $K \otimes K$ donde $K$ es cualquier extensión de Galois finita de $\mathbb{Q}$ ). Aplicando la propiedad del coproducto en $\textrm{Noeth}$ Cada uno de ellos $\mu_\sigma$ factores a través de $C$ para que $i$ factores a través de $\varphi$ . En particular, el mapa $\varphi$ es inyectiva, y podemos identificar $A$ con un subring de $C$ .

Desde $A$ es integral sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ tiene la dimensión de Krull $0$ . En particular, todo ideal máximo $\mathfrak{m}_\sigma=\ker \mu_\sigma$ es un ideal primo mínimo de $A$ . Por un resultado de Bourbaki, Álgebra conmutativa (Cap. 2, Sec. 2.6, Prop. 16), el ideal $\mathfrak{m}_\sigma$ está por debajo de un ideal primo mínimo $\mathfrak{p}_\sigma$ de $C$ . Así que hemos construido infinitos ideales primos mínimos de $C$ Lo cual es absurdo porque $C$ es noetheriano.