Universal homotheties para curvas elípticas

Question

Deje $K$ ser un campo de número y $E_1, \cdots, E_n$ curvas elípticas sobre $K$. Deje $\ell$ ser una de las primeras. Entonces existe un elemento $\sigma \in \text{Gal}(\overline{K}/K)$ tal que $\sigma$ actúa en $T_\ell(E_i)$ a través de un no-root-de-la-unidad escalar para todos los $i$. (Aquí se $T_\ell(E_i)$ indica el $\ell$-ádico Tate módulo de $E_i$.)

Este es un resultado de Bogomolov, que muestra que para cualquier Abelian variedad $A/K$, existe un elemento de $\text{Gal}(\overline{K}/K)$ que actúa sobre la $T_\ell(A)$ a través de un no-root-de-la-unidad escalar; aplicando este resultado a $\prod_i E_i$ da la reclamación.

Me gustaría saber si un análogo de la declaración es verdadera para el infinito de conjuntos de curvas elípticas. En particular:

Revisión de un primer $\ell$. ¿Existe un elemento $\sigma\in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ tal que para todas las curvas elípticas $E/\mathbb{Q}$, $\sigma$ actúa en $T_\ell(E)$ a través de un no-root-de-la-unidad escalar?

Yo también estoy interesado en el siguiente variante más fuerte:

Revisión de un primer $\ell$. ¿Existe un elemento $\sigma\in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ tal que para todos los campos de número de $K\subset \overline{\mathbb{Q}}$ y todas las curvas elípticas $E/K$, existe un entero $N$ tal que $\sigma^N$ actúa a través de un no-root-de-la-unidad escalar en $T_\ell(E)$?

Tenga en cuenta que el anterior tiene sentido porque para $N$ suficientemente divisible, $\sigma^N\in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/K)$.

Por supuesto, esta pregunta está relacionada con uniforme de acotamiento de las conjeturas, pero mi esperanza es que puede ser contestada de forma independiente de ellos.

Answer 1

Fijar el prime $\ell$. Espero que: existe una constante $C$ tal que para cualquier curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ la imagen de la Galois representación $\rho\colon \operatorname{Gal} ( \bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_{\ell})$ contiene $\bigl\{x^C \bigm\vert x\in \mathbb{Z}_{\ell}^{\times}\bigr\}$.

Carola Eckstein en su tesis http://cds.cern.ch/record/897530/files/cer-002567978.pdf responde a esta parte. Si $E$ tiene complejo de multiplicación, a continuación, $C=54$ va a hacer. Si $\ell>163$ entonces $C=12$ está bien. Agnès David https://arxiv.org/abs/1007.4725 hace más de progreso y muestra que, para $\ell>23$ y diferentes a los de $37$, $43$, $67$ e $163$ entonces $C=2$ obras. No sé más acerca de la cuestión para los más pequeños de $\ell$, pero como ulrich sugerencias en sus comentarios anteriores, uno debe ser capaz de demostrar la existencia de $C$.

Supongamos que hay un $C$. Dada una curva elíptica $E/\mathbb{Q}$, vamos a $K_E$ a ser el campo fijo por la imagen de $\operatorname{im}(\rho)\to \operatorname{PGL}_2(\mathbb{Z}_\ell)$ (como en el ulrich's comentario). Set $K_\infty = \mathbb{Q}(\mu_{\ell^{\infty}})$. La imagen de la homotheties bajo $\det:\operatorname{im}(\rho) \to \operatorname{Gal}(K_\infty/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$ contendrá todos los $2C$-th poderes. Por lo tanto, no es una extensión finita $F/\mathbb{Q}$ dentro $K_\infty$ tal que $K_E\cap K_\infty\subset F$ para todas las curvas elípticas $E$.

En particular, el compositum $\mathcal{K}$ de cualquiera (o todos) $K_E$ intersecta $K_\infty$ en $F$ y, por tanto, cualquier elemento de $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathcal{K})$ que se asigna a un elemento $\sigma$ de infinito orden en $\operatorname{Gal}(K_\infty/F)$ va a trabajar.

La referencia anteriores también muestran que esto funciona para muchos $\ell$ a través de cualquier número fijo de campo en lugar de $\mathbb{Q}$.

No tengo la respuesta para la segunda pregunta, sin embargo.