¿Por qué la desigualdad de triángulo?

Question

[Tal vez esto es pidiendo ser cerrado; pero pensé que tenía que correr el riesgo.]

Una métrica satisface los axiomas:

• $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$.
• $d(x,y) = d(y,x)$.
• $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$.

Del mismo modo (y motivadamente) una uniformidad en $X$ sobre un filtro de $F$ a $X\times X$ con:

• $\Delta = \{ (x,x) : x\in X \} \subseteq D$ para todos los $D\in F$.
• $D=\{ (y,x) : (x,y)\in D\}$ para todos los $D\in F$.
• para todos los $D\in F$ hay $E\in F$ con $E^2\subseteq F$.

A mí me parece que si se le cae el triángulo de la desigualdad (o el tercer axioma de la uniformidad), a continuación, usted todavía puede hacer más básicos de la topología, todavía puede mostrar, por ejemplo, que el espacio delimitado (uniformemente) funciones continuas $X\rightarrow\mathbb R$ o $\mathbb C$ es un espacio de Banach (de interés para el Analista como yo) y así sucesivamente. Mi pregunta es, ¿por qué no hacemos un estudio de métricas de uniformidad que no satisface la desigualdad de triángulo? (Veo desde Espacios con una cuasi desigualdad de triángulo que tal cosa es un semi-espacio métrico).

Algunas de las razones que pensé:

i) "la Mayoría" de las métricas de surgir de otras estructuras, por ejemplo, las normas en un espacio vectorial-- y el triángulo de la desigualdad proviene de un axioma que parece más natural (por ejemplo, el triángulo de la desigualdad de la norma parece realmente importante, da un poco de acoplamiento entre la estructura aditiva de los vectores en el espacio y la distancia).

ii) Si el espacio es muy agradable (por ejemplo, compact) en la topología inducida por su semi-métrica, entonces hay una métrica dando la topología. Así que ¿por qué no acaba de asumir que tienen una métrica? Esto es especialmente cierto para los uniformes de los espacios, ya que sólo necesita para ser completamente regular para ser uniformisable.

iii) a mí me parece que usted realmente necesita el triángulo de la desigualdad a hablar de Cauchy-secuencias de una manera sensible, y así hablar de integridad.

Supongo que estoy un poco motivado por la reciente(ish) pregunta sobre si las definiciones de las matemáticas son "correctas". Lo que hace que el triángulo de la desigualdad, de manera útil de que casi todo el mundo asume que, aunque se puede hacer un montón de punto-conjunto de topología sin ella?

Answer 1

El triángulo de la desigualdad es natural. En cualquier lugar donde la métrica está relacionado con algún tipo de problema de optimización, por ejemplo si $d(a, b)$ medidas de la "longitud" de la "ruta más corta" entre los puntos de $a$ e $b$ (y esto puede ser interpretado bastante abstracta, por ejemplo si $a$ e $b$ son miembros de algún sistema físico y $d(a, b)$ describe la cantidad de energía que se necesita para ser gastado para llegar desde $a$ a $b$), a continuación, $d(a, c) \le d(a, b) + d(b, c)$ porque óptima de la "ruta" de $a$ a $b$, junto con una óptima de la "ruta" de $b$ a $c$, puede ser mejor que el óptimo de la "ruta" de $a$ a $c$.

Fue Lawvere el primero que se dio cuenta de que el anterior suena como la composición de morfismos en una categoría, y esto conduce a Lawvere la definición de un espacio métrico como una categoría enriqueció a lo largo de la categoría monoidal $([0, \infty], +)$. Desde este punto de vista es el de los otros dos axiomas que no son naturales: el primer axioma corresponde a ignorar isomorphisms, y el segundo axioma no se mantienen en algunos casos naturales de el argumento anterior (por ejemplo, el "costo de la energía" métrica no siempre es simétrica). También es natural no se requiere que las métricas no tome el valor de $\infty$; esto corresponde a ninguna ruta existente entre el $a$ e $b$.

Tal vez el siguiente ejemplo es muy útil. Dado cualquier gráfico de $G$, existe un natural métrica $d(a, b)$ dado por la longitud de la ruta más corta desde $a$ a $b$. Si $G$ es un grafo dirigido no hay ninguna razón para tener $d(a, b) = d(b, a)$. Por otro lado, dado cualquier gráfico de $G$ podemos construir la categoría libre en sus flechas.

(Y si vas a la pregunta ¿por qué definiciones en matemáticas son correctas, me parece curioso que a usted le pregunta el triángulo de la desigualdad antes de la definición de una topología.)

Answer 2

Desde un punto de vista conceptual, el triángulo de la desigualdad per se NO es lo que usted realmente necesita. Lo que yo siempre hincapié en cuando enseño métrica del espacio es que lo que se utiliza una y otra vez es que "hay dos cosas que están cerca de la misma cosa son cerca uno del otro". Esto es lo que el triángulo de la desigualdad está diciendo realmente es, y lo que usted necesita demostrar todos los teoremas.

Answer 3

Me gustaría ampliar en Qiaochu de la respuesta: se ha sabido durante algún tiempo por categóricos topologists que no es completamente uniforme (ja, ja) resumen de configuración que une a la métrica de los espacios, uniforme de estructuras, topologías, y otros fundamentales conceptos topológicos bajo el mismo paraguas conceptual. Ver por ejemplo este artículo por Clemente, Hofmann, y Tholen, y en especial la sección 5, donde el resumen tonterías se aplica para producir estos conceptos.

El punto es que el triángulo de la desigualdad, que es como la asociatividad condición para álgebras de más de una mónada, es crucial en todos estos ejemplos.

Sin entrar en detalle, pero todavía para dar un sabor de esta unificación: los axiomas de un espacio métrico a la Lawvere son

$$0 \to d(x, x)$$

$$d(x, y) + d(y, z) \to d(x, z)$$

donde $d$ es valorado en la monoidal cerrado categoría (poset) $([0, \infty], +, \geq)$. Los axiomas de un espacio topológico a través de ultrafilter de convergencia son

$$\top \to d(u_X(x), x)$$

$$d(\mathcal{F}, U) \wedge d(U, x) \to d(m_X(\mathcal{F}), x)$$

donde $d(U, x)$ indica el valor de verdad de "un ultrafilter $U$ converge a un punto de $x$" en un espacio de $X$. Aquí $d$ es valorado en la monoidal cerrado la categoría de la verdad, los valores de $(\{\bot, \top\}, \wedge, \leq)$. El $u$ en el primer axioma se refiere a la unidad de $u: 1 \to M$ donde $M: Set \to Set$ es el ultrafilter mónada; $u_X$ toma un punto de $x \in X$ a, el director de ultrafilter generado por $x$, y el primer axioma dice que el director de ultrafilter generada por un punto de $x$ converge a $x$. El $m$ en el segundo axioma se refiere a la multiplicación $m: MM \to M$ de la mónada (así que aquí $\mathcal{F}$ pertenece a $MMX$, e $U$ pertenece a $MX$), y $d(\mathcal{F}, U)$ se refiere a la canónica de la topología en $MX$ como la Piedra espacio de ultrafilters conectado al álgebra de boole $2^X$. Este punto de vista sobre espacios topológicos vuelve a Barr, a veces, en los años sesenta; véase su artículo "Relacional el álgebra de operadores" en los Informes de la Midwest Categoría Seminario IV, Springer LNM 137, páginas 39 a 55.

Answer 4

He aquí un ejemplo de la vida real de algo que falla el triángulo de la desigualdad, pero que todavía es muy interesante: el espacio de $L^p(X)$ para $0\lt p\lt 1$. Por ejemplo, el producto $fg$ de dos funciones de $f,g\in L^1(X)$ es de $L^{1/2}(X)$.

Este es un ejemplo de un cuasi-Banach espacioy por lo tanto satisface la Polla Palais de la condición de "dos cosas que están cerca de la misma cosa son cerca uno del otro".

Answer 5

ACTUALIZACIÓN: esto no está bien. Voy a dejarlo por el momento y tratar de solucionarlo correctamente después.

Supongamos que usted ha $d$ la satisfacción de sus dos primeros axiomas, y se definen $d'$ a ser el inf de todas las posibles sumas $d(x,a_1)+d(a_1,a_2)+\dotsb+d(a_{n-1},y)$. Este va a satisfacer $d'(x,x)\geq 0$ e $d'(x,y)=d'(y,x)$ e $d'(x,z)\leq d'(x,y)+d'(y,z)$, por lo que es un pseudometric. La topología definida por este pseudometric será la misma que la definida por su original $d$, por lo que realmente no han ganado ninguna generalidad. Podría ocurrir que los $d'(x,y)=0$ para algunos $x,y$ con $x\neq y$, en cuyo caso la topología no es Hausdorff, como Ricky mencionado.

Uno de los casos usted podría considerar la es $d(x,y)=(x-y)^2$ a $\mathbb{R}$. Aquí $d'=0$, por lo que la topología indiscreta.

Alternativamente, usted puede tomar $X=[0,1]^2$ e $d((x,y),(u,v))=$ habitual de la distancia al $x=u$ o $y=v$, e $d((x,y),(u,v))=42$ lo contrario. En este caso, $d'((x,y),(u,v))=|x-u|+|y-v|$ y la topología resultante es la usual.