Lo que (si acaso) pasó a Viennot la teoría de los Montones de piezas?

Question

En 1986, G. X. Viennot publicado "Montones de piezas, I : definiciones Básicas y combinatoria lemas", donde desarrolló la teoría de los montones de piezas, desde el resumen: una interpretación geométrica de Cartier-Foata la conmutación monoid. Esta teoría unifica y simplifica muchas otras obras en la Combinatoria : bijective pruebas en el álgebra matricial (MacMahon Maestro teorema, la inversión de la matriz de la fórmula, la identidad de Jacobi, de Cayley-Hamilton teorema), teoría combinatoria general (formal) polinomios ortogonales, el recíproco de Rogers-Ramanujan identidades, la teoría de grafos (coincidencia cromática y de polinomios).

En las referencias de los artículos subsiguientes "Montones de piezas, 4 y 5" aparecen como "en preparación", donde las aplicaciones de la teoría a la solución de los dirigidos problema con un animal y la física estadística se supone que para ser desarrollado. Sé que estas partes de la teoría que han aparecido en la literatura, pero yo tengo algo desconcertados en cuanto a por qué la serie de papeles no es continua (la búsqueda de Montones de piezas II o III o IV no da los resultados). Hay alguna encuesta de toda la teoría en otro lugar?

También, ya que yo no tenía ganas de hacer esta en una pregunta aparte, ¿hay algún papel que demuestre clásicos teoremas de dímeros (Kasteleyn del teorema, Aztecas, diamante, etc.) el uso de Viennot la teoría?

Answer 1

Ok, eso lo sé. Viennot, básicamente, inventa un montón de grandes cosas, pero rara vez se publica su obra. Acerca de "montones de piezas" - esta es una bonita teoría, con muy pocos originales consecuencias. Es realmente equivalente a Cartier-Foata parcialmente conmutativa monoid (disponible aquí). Ver a Christian Krattenthaler del artículo para la conexión y los detalles. Véase también hay referencias a otros trabajos recientes.

Ahora, para muchos de Viennot inéditos resultados, ver su "polinomios Ortogonales..." del libro, que no estaba disponible durante años, pero ahora está en su página web. Ver también varias de sus conferencias de vídeo (en su mayoría en francés), donde se describen algunas de las interesantes bijections basado en los montones (algunos relacionados con varios de celosía animales eran nuevas para mí, incluso si tienen que venir para arriba con ellos hace algunos años - echar un vistazo). El recíproco de R-R identidades es un elegante única observación que se publicó por separado: MR0989236. Realmente no convence al R-R identidades, simplemente se da una nueva combinatoria de interpretación por un lado el uso de montones de dímeros (varios relacionados con resultados fueron obtenidos por Andrews-Baxter un poco antes).

Acerca de algunas de las últimas aplicaciones fuera de la combinatoria enumerativa. Philippe Marchal describe aquí que montones de piezas fácilmente implica David Wilson del teorema en Bucle-borra el paseo aleatorio dando al azar árboles de expansión. Ellenberg y Tymoczko dar una hermosa aplicación para el diámetro de la cota de ciertos grafos de Cayley. Por último, en mi papel con Matjaz Konvalinka, utilizamos una montones de piezas de estilo bijection de dar el "libro" a prueba de la (no - y p-conmutativa) MacMahon Maestro teorema.

En su seguimiento pregunta sobre Kasteleyn del teorema y la Azteca diamante teorema - no, estos son los resultados de diferentes tipo, montones realmente no se aplican, al menos que yo sepa.

Answer 2

Montones son importantes en la teoría (especialmente la combinatoria teoría) de minúsculos de representaciones de álgebras de Lie. Supongo que Stembridge en sus 1996 papel "En la totalmente conmutativa elementos de Coxeter grupo" podría haber sido el primero en reconocer esto? Pero por ejemplo los montones de jugar un papel central en el reciente libro "la Combinatoria de Minúsculos Representaciones", en : R. M. de color Verde.

Answer 3

No ha sido el reciente trabajo de Tyler Helmuth que se aplica Viennot la teoría de la mecánica estadística y, en particular, encontrando una nueva expresión para el punto dos de la función de Ising de sistemas. Ver su artículo: https://arxiv.org/abs/1209.3996

Answer 4

El Cartier-Foata libre parcialmente conmutativa monoids se utilizan en ciencias de la computación en el modelado de los concurrentes cálculo bajo el nombre de traza monoids. Véase, por ejemplo, el artículo de la Wikipedia sobre la traza de monoids, https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_monoid.

Answer 5

Existe una considerable utilización de, al menos, las ideas básicas de la teoría de Eventos Discretos Sistemas. (Esto es hermoso cosas si la planificación de los cursos, ya que utiliza muchas ideas de álgebra abstracta y combinatoria, sin embargo, es visiblemente de aplicación a interesantes problemas prácticos.) Hay trabajo por Gaubert y Mairesse en Tetris modelos.