Funciones continuas que toman un número incontable de valores con una frecuencia contable

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua definida en el intervalo cerrado $[0,1]$ . Claramente $f$ está acotado y alcanza sus límites.

Entonces mi pregunta es con qué frecuencia puede $f$ tomar un valor en su rango de forma contable?

Dejemos formalmente que $Z(f,p)=\{x\in \text{Image}(f):|f^{-1}(x)| = p\}$ . Me gustaría conocer grandes $Z(f,\aleph_0)$ ¿puede ser?

Conjeturo que podemos encontrar $f$ con $|Z(f,\aleph_0)|=2^{\aleph_0}$ .

Tenga en cuenta que puedo encontrar f con $Z(f,2^{\aleph_0}) = \aleph_0$ que creo que hace que la conjetura sea plausible:

Sabemos que el conjunto cero de una función continua sobre $[0,1]$ puede ser cualquier subconjunto cerrado ya que podemos tomar $f$ para ser la distancia al conjunto cerrado. Si dejamos que el conjunto cerrado sea el conjunto ternario cantor $C$ en $[0,1]$ podemos crear una función en $[0,1]$ con un conjunto cero incontablemente infinito. Tomando escalas adecuadas de la función sobre intervalos $[\frac{1}{2^{2n+1}}, \frac{1}{2^{2n}}]$ con rampas intermedias podemos encontrar una función $f$ s.t. $Z(f)$ es contablemente infinito. Por lo tanto, tenemos $Z(f,2^{\aleph_0}) = \aleph_0$ .

Answer 1

¿Qué tal la escalera del diablo (también conocida como función de Cantor) $C(x)$ pero con cada segmento horizontal sustituido por un zigzag reescalado $Z(x)$ ? Por zigzag me refiero, por ejemplo: $$ Z(x) = \tfrac{2}{\pi} \arcsin(\sin(2\pi x)) .$$ La función $f$ se define formalmente como: $$ f(x) = \begin{cases} C(x) & \text{if $x$ has no $1$ in ternary expansion,} \\ C(x) + 2^{-n} Z(3^n(x - a_{n,k})) & \text{if $x \in [a_{n,k}, a_{n,k}+3^{-n}]$,} \end{cases} $$ donde $a_{n,k}$ , $k = 1, 2, \ldots, 2^n$ es la enumeración de los extremos izquierdos de los segmentos de línea máximos de longitud exacta $3^{-n}$ en el que $C(x)$ es constante.

Por cada $y_0$ que no es un racional diádico hay exactamente una $x$ sin $1$ en expansión ternaria tal que $f(x) = C(x) = y_0$ y para cada $n = 1, 2, \ldots$ la línea $y = y_0$ cruza exactamente un zigzag de $f$ de longitud horizontal $3^{-n}$ .

EDIT: Para aclarar la definición de $f$ , escriba $$ x = \sum_{n = 1}^\infty \frac{x_n}{3^n} $$ para la expansión ternaria de $x$ y que $K \in \{1, 2, \ldots, \infty\}$ sea la posición del primer dígito $1$ . La función de Cantor $C(x)$ es igual a $$ C(x) = \sum_{n = 1}^K \frac{\lceil x_n/2 \rceil}{2^n} . $$ La función $f$ se define por $$ f(x) = \begin{cases} C(x) & \text{if $K = \infty$,} \\ C(x) + 2^{-K} Z\biggl(\sum_{n = 1}^\infty \dfrac{x_{K+n}}{3^n}\biggr) & \text{otherwise.} \end{cases} $$

Aquí está el gráfico de $f$ :

Para ver que $f$ es continua, basta con observar que $f - C$ es una serie infinita de funciones continuas en "zigzag" con soportes disjuntos y normas supremos decrecientes. La serie converge así de manera uniforme, y en consecuencia $f - C$ es continua.

En cuanto a los conjuntos de niveles: Supongamos que $y$ no es un racional diádico, con dígitos binarios $y_n$ : $$ y = \sum_{n = 1}^\infty \frac{y_n}{2^n} . $$ Entonces $C(x) = y$ tiene exactamente una solución (a saber: un $x$ con $x_n = 2 y_n$ ), y esto también será una solución de $f(x) = y$ . Todas las demás soluciones $x$ necesariamente tienen $K < \infty$ . Para tal $x$ tenemos $|f(x) - C(x)| \le 2^{-K}$ Es decir, $|y - C(x)| \le 2^{-K}$ . Desde $y$ no es un racional diádico, se deduce que $x_n = 2 y_n$ para $n = 1, 2, \ldots, K - 1$ , y por supuesto $x_K = 1$ . Por lo tanto, $$ 2^{-K} Z\biggl(\sum_{n = 1}^\infty \frac{x_{K+n}}{3^n}\biggr) = f(x) - C(x) = y - C(x) = \frac{y_K - 1}{2^K} + \sum_{n = K + 1}^\infty \frac{y_n}{2^n} . $$ Es evidente que la ecuación anterior tiene exactamente dos soluciones ( $Z$ es esencialmente de dos a uno). De ello se desprende que $f(x) = y$ tiene una solución con $K = \infty$ y dos soluciones correspondientes a cada finito $K$ .

Por cierto, los conjuntos de niveles correspondientes a los racionales diádicos también son contables, por un argumento muy similar.

Answer 2

Para complementar las respuestas ya dadas, también se puede tener $|Z(f,2^{\aleph_0})|= 2^{\aleph_0}$ : sólo toma para $f$ una muestra típica de movimiento browniano. Más concretamente, casi todas las realizaciones del movimiento browniano tienen la propiedad de que un conjunto de $c$ s de medida de Lebesgue positiva tiene una preimagen de dimensión de Hausdorff positiva. Esto puede demostrarse combinando el hecho de que el conjunto de nivel cero de BM tiene dimensión Hausdorff positiva con Fubini y la propiedad de Markov fuerte.

Answer 3

Una función localmente recurrente toma cada en su rango un número infinito de veces. Existen funciones continuas localmente recurrentes no constantes en $[0,1]$ . Ver https://msp.org/pjm/1967/21-3/pjm-v21-n3-p04-s.pdf .