Hay Hecke operadores que actúan sobre una curva elíptica con aditivos de reducción, que yo no sé?

Question

Yo podría haber hecho esta pregunta muy breve, pero en su lugar he máximo ido a otro lado y se explica de una gran cantidad de antecedentes. No sé si puedo poner fuera de lectores o atraer a ellos de esta manera. La pregunta es waay ahí abajo.

Deje $f$ ser un cuspidal modular eigenform de nivel $\Gamma_0(N)\subseteq SL_2(\mathbf{Z})$ (por ejemplo, $f$ podría ser el peso 2 modular formulario que se adjunta a una curva elíptica) y deje $p$ ser una de las primeras. En la teoría de las formas modulares, uno Hecke operador en $p$ se destaca, es decir,$T_p$, a veces llamado $U_p$ si $p$ divide $N$, y se define por la doble coset conectado a la matriz $\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0&1\end{array}\right)$. Ahora $f$ es un eigenform para $T_p$, e $f$ tiene un autovalor de este operador---un Galois de la teoría de la interpretación de este autovalor es que es (modulo de fijación de incrustaciones de $\overline{\mathbf{Q}}$ en $\overline{\mathbf{Q}}_\ell$ e $\mathbf{C}$) la traza de la geométrica Frobenius en la inercia de los invariantes de la $\ell$-ádico representación adjunta a $f$, para $\ell\not=p$ un primo.

Ahora aquí es una muy ingenua pregunta que no sé la respuesta, y realmente me deben, y estoy seguro de que es muy bien conocido para las personas que hacen este tipo de cosas. Decir $N=p^rM$ con $M$ primer a $p$. Uno puede acercarse a la teoría de los operadores de Hecke completamente a nivel local. Deje $K:=U_0(p^r)$ denotar el subgrupo de $GL_2(\mathbf{Z}_p)$ compuesto de matrices de cuya parte inferior de la mano izquierda de la entrada es de $0$ mod $p^r$. Ahora hay un "resumen Hecke álgebra" de local de izquierda y derecha-$K$invariante en el complejo de funciones con valores en $G:=GL_2(\mathbf{Q}_p)$ con soporte compacto. Como un complejo espacio vectorial de este álgebra tiene una base que consta de las funciones características $KgK$ as $KgK$ ejecuta a través de la doble cosets de $K$ en $G$. Pero este espacio también tiene un álgebra de estructura, dada por la convolución.

Si $r=0$ entonces $K$ es máxima compacto, y la estructura de este Hecke el álgebra es bien conocida y fácil. A través de la Satake isomorfismo, el resumen Hecke álgebra es isomorfo a $\mathbf{C}[T,S,S^{-1}]$, con $S$ e $T$ independiente de los desplazamientos polinomio variables. La interpretación es que $T$ es el habitual Hecke operador $T_p$ conectado a la matriz $\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0&1\end{array}\right)$ e $S$ es la matriz adjunta de a $\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0&p\end{array}\right)$. Uno no siempre consulte este último Hecke operador explícitamente en la escuela primaria la evolución de la teoría, ya que actúa en un muy aburrido manera---actúa por escalares en las formas de un determinado peso y nivel de $\Gamma_0(N)$, normalmente (dependiendo de las normalizaciones) como los escalares $p^{k-2}$ en los formularios de peso $k$. En particular, el "resumen Hecke álgebra" no nos da más información que la que textos clásicos explicar, a medida que se genera por $T_p$, $S_p$ y $S_p^{-1}$.

El siguiente caso es $r=1$ y en este caso también entiendo. El resumen Hecke álgebra ahora no es conmutativa, "porque de oldforms": no creo que los operadores adheridos a $\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0&1\end{array}\right)$ e $\left(\begin{array}{cc}0& p\\ 1&0\end{array}\right)$ (es decir, los operadores correspondientes a estos dobles coset espacios) tiempo de viaje, pero si $f$ tiene nivel de $Mp$, y es de edad en $p$ a continuación, se debe trabajar a nivel de $M$, y si es nueva en $p$ entonces tenemos dos invariantes---la $T_p$ (o $U_p$) autovalor, que es clásica, y el $w$-autovalor, que es el signo de la ecuación funcional. De nuevo ambos números son clásicos y se sabe mucho acerca de ellos. Estoy bastante seguro de que el resumen Hecke álgebra en este caso se genera por estos operadores $T_p$, $w$, y el poco interesante $S_p$ e $S_p^{-1}$, estos dos últimos aún actuando por escalares en las formas de un peso determinado. Estoy en lo cierto al pensar que estos operadores de generar el local Hecke álgebra? Yo así lo creo.

El siguiente caso es $r=2$ y de esto no estoy 100 por ciento seguro de que entiendo. La teoría clásica nos da $T_p$, $S_p^{\pm1}$ y $w$. Tenga en cuenta que en un newform de nivel $\Gamma_0(Mp^2)$, $T_p$ es de cero en esta situación, $S_p$ hechos por un escalar, y $w$ es algún signo sutil que las personas tienen maneras inteligentes de hacer ejercicio.

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Finalmente, entonces, la pregunta! Deje $K$ ser el subgrupo de matrices en $GL_2(\mathbf{Z}_p)$ compuesto de matrices para el que la esquina inferior izquierda es $0$ mod $p^2$. Deje $H$ denotar el resumen de doble coset Hecke álgebra de forma compacta compatibles $K$-bivariant funciones en $GL_2(\mathbf{Q}_p)$.

Es este resumen Hecke álgebra generada (como un no-álgebra conmutativa) por las funciones características de $KgK$ para $g$ en el conjunto {$\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0&1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}0& p^2\\ 1&0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0&p\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}p^{-1}& 0\\ 0&p^{-1}\end{array}\right)$}?

En el lenguaje que se usa en el waffle de arriba: las formas modulares de nivel $p^2$ tienen una acción de los operadores de Hecke $T_p$, $w$, y el invertible $S_p$. Hay más, menos conocidos, los operadores de Hecke que estamos perdiendo?

Answer 1

Para expandir en un comentario que hice anteriormente: no estoy exactamente seguro de lo que los operadores de generar la Hecke álgebra de $\Gamma_0(p^2)$, pero el Hecke álgebras de los principales congruencia subgrupos $\Gamma(p^r)$ son más fáciles de manejar.

Vamos a escribir $K_n$ para el director de la congruencia de los subgrupos de nivel $p^n$ en $G = {\rm GL}_2(\mathbb{Z}_p)$.

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RECLAMO: Para cualquier $n > 0$, el Hecke álgebra $H(G // K_n)$ es generado por el doble cosets $K_n x K_n$ para $x$ en el conjunto

$S = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\ 0 & p \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} p & 0 \\\ 0 & p \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} p^{-1} & 0 \\\ 0 & p^{-1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & 0 \\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$

donde una es su favorito generador de $\mathbb{Z}_p^\times$.

(Estos corresponden, clásicamente, a $T_p$, $S_p$, $S_p^{-1}$, una "torsión operador en p", algo parecido a la Atkin-Lehner $w$, y el diamante operador $\langle a \rangle$.)

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Prueba: basta para mostrar que la subalgebra generados por estos operadores contiene el doble coset $[K_n g K_n]$ cualquier $g \in G$. Deje $X$ ser el monoid de los elementos de la forma $\begin{pmatrix} p^r & 0 \\\ 0 & p^s\end{pmatrix}$ con $r \le s \in \mathbb Z$. El Cartan descomposición nos dice que cualquier $g \in G$ puede ser escrito como $g = k x k'$ para algunos $k, k' \in K_0$.

Ahora escribiremos $K_n\ g\ K_n = K_n\ k\ x\ k'\ K_n$

$ = K_n\ k\ K_n\ x\ K_n\ k'\ K_n$ (con la normalidad de $K_n$ en $K_0$)

$ = [K_n\ k\ K_n]\ [K_n\ x\ K_n]\ [K_n\ k'\ K_n]$

El primer y último términos son, obviamente, en el subalgebra $H(K_0 // K_n)$ de % de$H(G // K_n)$, que es isomorfo al grupo de álgebra de la finitos grupo $K_0 / K_n = {\rm GL}_2(\mathbb Z / p^n)$. Esto es claramente generados por las imágenes de los tres últimos elementos de $S$, ya que estos son topológicas generadores de ${\rm GL}_2(\mathbb{Z}_p)$.

Mientras tanto, en el medio plazo está en el subalgebra de $H(G // K_n)$ generado por $X$, y es fácil ver que para $x, y \in X$ tenemos $K_n\ x\ K_n\ y\ K_n = K_n\ xy\ K_n$. Por lo tanto, esta subalgebra es sólo el monoid álgebra de $X$, la cual es generada por los tres primeros elementos de $S$.

Ahora, en cuanto a tu pregunta original, el subgrupo $U_0(p^2) \subseteq {\rm GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ de las matrices que se triangular superior modulo $p^2$ contiene un conjugado de $K_1$, por lo que su Hecke álgebra es isomorfo a una subalgebra de la Hecke álgebra de $K_1$. Así que aunque no te puedo dar generadores para su álgebra, puedo exhibir como una subalgebra de algo sabemos de los generadores.

Answer 2

No estoy seguro de que para entender completamente la pregunta, así que no voy a explayarme demasiado. Pero tal vez esto es útil.

El local de datos en $p$ (es decir, el isomorfismo de la clase de los locales de la restricción de la automorphic representación) de forma modular $f$ de nivel de $Np^r$ (y posiblemente no trivial nebentypus) está determinada por la

(1) el factor de Euler en $p$ (cuyos coeficientes son los valores propios de $T_p$ e $S_p$) y

(2) la (pseudo)-valores propios de la Atkin Lehner operador en $p$

para todos los giros de la $f$ por personajes locales de nivel dividiendo $p^r$ (de hecho, si usted tiene este tipo de datos para estos personajes que tienen para todos los caracteres). Esto ha sido demostrado, creo, por Atkin y Winnie Li en el lenguaje clásico y por Winnie Li en el adelic idioma. (Su objetivo era, al parecer, para establecer conversar teoremas. Tal vez fue en los gérmenes en Jacquet-Langlands.) Si $r=0$ o $r=1$, no es difícil mostrar que los datos de los giros que puede deducirse de los datos de (1) y (2) para f en sí, así que no hay necesidad de torcer.

Para convencerte de que este podría ser el derecha punto de vista, considerar la posibilidad de una curva elíptica $E$ con buena reducción en $p$. Giro por el símbolo de Legendre mod $p$. Se obtiene otra curva elíptica que tiene aditivos de reducción en $p$, conectado a una forma modular $f$. Idealmente, usted desea recuperar de $f$ el factor de Euler en $p$ de % de$E$. Pero la aplicación de $T_p$, $w$ en $f$ no puede darle a usted que. Usted necesita los datos de arriba para los giros.

Conclusión: la falta de operadores a la torsión de los operadores (combinado con $w$ y los operadores de Hecke). Si usted no está satisfecho por el hecho de que no preservar individuales eigenforms, considere el hecho de que cuando el nebentypus no es trivial, $w$ no se conserva el individuo eigenforms bien.