Colgante bola con cadena

Question

¿Cuál es la mínima longitud de la cuerda que es suficiente para colgar una unidad de radio de la bola de $B$?

Esta pregunta está relacionada con la anterior en la que MO pregunta, pero pienso diferente.

1. Suponga que la bola es sin fricción. Quizás $B$ es una bola de billar, y la cadena es de hilo de nylon.
2. Inicio bajo la restricción de que usted no está autorizado a cortar de la cadena.
3. Pero usted puede atar nudos, cuya longitud total $\epsilon$ es insignificante (o podemos tomar el infimum de todas las longitudes).
4. Deje $h$ ser la distancia desde la parte más alta de colgar punto hacia el norte polo de $B$.

Aquí hay una posible solución de la longitud de la $L = 3\pi + h$.

La parte verde es $h$. El azul es uno de bucle desde el polo norte $N$ a través del polo sur $S$ y de vuelta a a $N$, punto en el cual está vinculado y, a continuación, de nuevo desciende a la corbata en la $S$. Estoy un poco incierto si esto $120^\circ$ particionado podría se mantiene sin fricción. Sólo un gran círculo de longitud $2\pi$ dejaría hemisferios expuestos, permitiendo que el balón a caer bajo la más mínima perturbación.

Las variaciones se obtienen mediante la alteración de los supuestos anteriores. Suponga que no hay fricción $\mu$. Quizás $B$ es una pelota de tenis, y la cadena es la guita. Tal vez entonces un tipo de espiral más corto de $3\pi$ trabajan? Permite el corte de la cadena puede ayudar. Tal vez entonces uno podría moda el nido de un pájaro en el que $B$ anida, la consecución de una longitud cercana a $L = 2\pi + h$? Atar un nudo por encima del polo norte de $B$ podría ayudar, en el que caso de que la longitud de $h$ podría jugar un papel.

Cualquier idea será bienvenida, incluyendo afiladas de la especificación del problema. Estoy especialmente interesado en escuchar de un modo demostrable solución óptima bajo ninguna variación.

Addendum (28Oct10). Aquí está una imagen de Scott sugerencia en los comentarios:

Addendum (10Feb11). Martin Demaine en el MIT puso en contacto conmigo para informarme de que este se preguntó y se respondió hace tiempo: H. T. Croft escribió un libro, "Una Red para Mantener una Esfera," J. Londres Matemáticas. Soc., 39, (1964) pp 1-4. (PDF aquí.) Él atribuye el problema y la solución A. S. Besicovitch en un artículo de 1957, el mismo título, Matemáticas. Gaz. XLI, pp 106-7. Aquí es Croft de la primera frase:

Besicovitch [1] ha demostrado: si una red de cuerda inextensible encierra una esfera de radio de la unidad de tal manera que la esfera no se le resbale, entonces la longitud de la cadena es estrictamente mayor de $3 \pi$, y esto es falso con mayor constante sustitución de $3 \pi$.

Este resultado concuerda con las respuestas que figuran a continuación, por Scott y drvitek.

Answer 1

Hay otra solución estable de la longitud total $3\pi + h + \epsilon$ cualquier $\epsilon > 0$. Tomamos un círculo constante de latitud $\delta < 0$ (lo suficientemente pequeño) y, a continuación, conecte este círculo hasta el polo norte a través de dos diametralmente opuestos cadenas. Este es claramente estable. Además, esto es equivalente a su solución (además de Scott Carnahan del epsilon-modificación).

Sin embargo, en realidad hay una solución estable del total de la longitud de cadena $2\pi+h+\epsilon$. Simplemente tomamos el casi-ecuatorial círculo en la última solución y arrástrelo hasta el polo sur, por lo que tenemos un pequeño círculo junto con dos diametralmente opuestas de apoyo a las cadenas de conexión al polo norte. Esta solución es (apenas) estable, aunque físicamente no es exactamente fácil de implementar (una muy pequeña, pero no insignificante perturbación será suficiente para quitar la bola).

La razón de las dos respuestas: este fue mi proceso de pensamiento en la acción.

EDIT: por Favor, el desprecio de los de arriba; estas dos soluciones son inestables.

De hecho, Scott ejemplo es parte de una clase general de las soluciones de la longitud total $3\pi+h+\epsilon.$ Tomar cualquiera de los dos diametralmente opuesto puntos, y dibuja un pequeño triángulo esférico que contiene uno de los puntos. Conecte todos los seis posibles bordes entre los cuatro puntos por geodesics, y finalmente girar a la disposición de modo que una de las cadenas que pasa por el polo norte.

He aquí una breve prueba de que cualquier configuración estable debe tener al menos cuatro puntos en los que tres o más cadenas de cumplir. Si hay tres o menos puntos, hay un hemisferio $H$ que contiene todos los puntos. Tomar el complemento de $H^C$ de este hemisferio; podemos eliminar cualquier cadenas en $H^C$ porque no se puede geodesics. Como $H^C$ no contiene el polo norte de la esfera se puede caer.

Tenga en cuenta que si las cadenas no son geodesics entre uniones, podemos ignorar las cuerdas.

Aquí está un breve prueba (que no es muy rigurosa) que podría proporcionar un límite inferior. Supongamos que no hay un bucle (es decir, un conjunto de puntos conectados por geodesics) que está contenida totalmente en el hemisferio sur. A continuación, podemos arrastrar cualquier punto en el hemisferio sur en el hemisferio norte. (Esta declaración es la parte que no se puede hacer completamente rigurosa.) De modo que la esfera debe ser inestable. Ahora si tenemos un bucle en el hemisferio sur, debe haber al menos dos cadenas de reunión en el polo norte, ya que de lo contrario podríamos simplemente deslice todos los de la cadena fuera de un lado de la esfera.

Así que debemos tener un bucle en el hemisferio sur y (no necesariamente directa) conexiones de al menos dos de estos puntos hasta el polo norte. No puedo entender cómo el trabajo de un buen límite inferior de aquí.