Otra forma débil de la conjetura ABC

Question

Primero voy a explicar por qué una forma más débil es necesario. Y luego me formular la conjetura (más precisamente, la formulación será claro).

Está relacionada con la pregunta https://math.stackexchange.com/questions/40945/triangular-factorials y varios Mathoverflow a las preguntas de los comentarios a esa pregunta. Un número $m$ se llama triangular factorial si $m=\frac{n(n+1)}{2}=k !$ para algunos $n,k$. Es un problema abierto si el conjunto de triángulo factoriales es finito. Por otra parte el único conocido tales números se $1, 6, 120$.

Pero (algo sorprendente para mí) se puede demostrar que la conjetura ABC implica que hay sólo un número finito triangular factoriales. En efecto, supongamos que la arbitraria gran $k,m$ tenemos $ \frac{n(n+1)}{2}=k!$. A continuación, $n+1=\frac {2k!}{n}$. Deje $a=n, b=1, c= \frac {2k!}{n}$. Luego por la ABC conjetura $\frac {2k!}{n}<rad(2k!)^2$ donde $rad(x)$ es el producto de los números primos dividiendo $x$. Tenga en cuenta que $n\sim \sqrt{2k!}$ e $rad(2k!)=rad(k!)$ es el producto de todos los números primos $\le k$ que, por Erdos teorema $\sim e^{k}$. Así tenemos a $\sqrt{2k!}< e^{2k}$ que es imposible lo suficientemente grande como $k$. Recordemos que $2k!\sim 2\sqrt{2\pi k}\, e^{k\log k-k}$.

Pregunta: En la prueba por encima de lo que parece ser una versión débil de la conjetura ABC es utilizado (en lugar de $rad(abc)^{1+\epsilon}$ uno puede tomar mucho más de la función en $rad(abc)$). Tal vez esa versión puede ser demostrado ser más fácil que el original de la conjetura ABC?

Edit: es fácil ver que en la versión de ABC conjetura se usa aquí, $b=1$. Tal vez eso hace que la conjetura más fácil? Así que podemos formular

Una conjetura Para cada constante $d<\frac 12$ hay sólo un número limitado de natural $a$ tal que $$a>rad(a(a+1))^{d\log\log a}.$$ Tenga en cuenta que el exponente en el lado derecho puede ser un poco diferente.

Answer 1

Para $a> e$, tenemos $\log \log a > 0$ y, por tanto, $x^{\log \log a}$ es una función creciente, por lo que $$a>\mathrm{rad}(a(a+1))^{\frac {\log a}{\log\log a}}$$

implica entonces que $a^{\log \log a} > \mathrm{rad}(a(a+1))^{\log a}$. Tenga en cuenta que $a^{\log \log a} = (e^{\log a})^{\log \log a} = (e^{\log \log a})^{\log a} = (\log a)^{\log a}$.

Así que tenemos $(\log a)^{\log a} > \mathrm{rad}(a(a+1))^{\log a}$,
por lo $(\log a) > \mathrm{rad}(a(a+1))$, así que con $b=1$ e $c=a+1$ tenemos $$c > a > \exp(\mathrm{rad}(abc))$$

pero por cada $\varepsilon > 0$ no es un porcentaje ($K$tal que $c < \exp(K\,\mathrm{rad}(abc)^{\frac13+\varepsilon})$ (Stewart & Yu , 2001), que da una contradicción para suficientemente grande $\mathrm{rad}(abc)$. Así que nos pueden mostrar que para cada constante $L$, tenemos que $L > \mathrm{rad}(abc) = \mathrm{rad}(a(a+1))$ por sólo un número finito de $a$.

De nuevo, esto se desprende de este resultado por Stewart & Yu (2001). Si hay una infinitud de $a$ tal que $L > \mathrm{rad}(a(a+1))$, ya que cada una de estas triple tiene un valor diferente de $c$, hay arbitrariamente grandes valores de $c$ tal que $L > \mathrm{rad}(abc)$, lo $c < \exp(K\,\mathrm{rad}(abc)^{\frac13+\varepsilon}) < \exp(K\cdot L^{\frac13+\varepsilon})$, por arbitrariamente grandes valores de $c$, pero el último es una constante contradicción.