¿Una "mejor" aproximación racional de pi?

Question

$355/113$ es una buena aproximación fraccionaria de $\pi$ porque usamos seis dígitos para producir siete dígitos correctos de $\pi$ .
$$\frac{355}{113} = 3.1415929\ldots$$

Dejemos que $R$ sea la relación entre el número de dígitos exactos producidos y el número de dígitos utilizados en el numerador y el denominador, entonces
$$R\left(\frac{355}{113}\right) = \frac 7{3+3} = 1.166666\ldots\,{}$$ ¿Puede alguien encontrar una fracción "mejor" tal que $R > 1.16666\ldots\,{}$ .

Añadido: Probablemente, una pregunta similar también tendría sentido sobre una base distinta a $10$ .

Answer 1

Utilizando la idea de la otra respuesta de manera diferente, si $u$ es el medida de irracionalidad de $\pi$ entonces, excepto para un número finito de $p/q$ tenemos

$$ \left| \pi - \frac{p}{q} \right| > \frac{1}{q^u} $$

y en consecuencia

$$ \frac{ -\log |\pi - (p/q)| }{\log p + \log q } < \frac{u}{2}$$

y habrá infinitas fracciones $p/q$ que se acercan arbitrariamente a este límite. (y, por supuesto, aquellas excepciones finitas que puedan existir y que se permitan excederlo) (y, cualquier pequeño exceso que pueda surgir debido al error de redondeo en el análisis)

Si la medida de irracionalidad si $\pi$ es mayor que $2.34$ entonces habrá infinitamente muchos fracciones con un mejor valor de $R$ que el que has encontrado. (aunque eso no es razón para esperar que ninguno de ellos sea lo suficientemente pequeño como para que lo encontremos)

Si $u < 2.3$ entonces sólo puede haber un número finito de fracciones con un valor mejor de $R$ . Pero no tengo ni idea de cómo se puede comprobar si existe alguno.

Casi todos los números irracionales tienen medida de irracionalidad $2$ para $\pi$ se sabe que $u \leq 7.6063$

Answer 2

Ampliando mi comentario, he aquí una razón por la que no deberías encontrar ninguna aproximación mejor (en tu sentido).

Dejemos que $p_n/q_n$ sea el $n$ -convergente de la fracción continua de $\pi$ y $R_n$ su calidad tal y como la ha definido en su pregunta.

Ignoramos a propósito las partes enteras y los errores de fuera de uno al expresar el número de dígitos decimales y escribimos simplemente $$ R_n \doteq \frac{-\log_{10} \left | \pi-p_n/q_n\right |}{\log_{10} p_n+\log_{10} q_n} .$$

Lo que necesitamos ahora es que $\pi$ es un número real típico en el Khinchin-Lévy sentido, que por cierto es válido para todos los números reales pero un conjunto de medida $0$ . Esta es una conjetura abierta, pero la evidencia numérica es muy fuerte (compruébelo usted mismo si lo desea).

Esto significaría, en particular, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} q_n^{1/n}=\lim_{n \rightarrow \infty} \left (\frac{p_n}{\pi}\right )^{1/n}=\mathrm{e}^{\pi^2/12 \log 2}$$ y $$ -\lim_{n \rightarrow \infty} \frac 1 n \log_{10} \left | \pi-\frac{p_n}{q_n} \right |=\frac{\pi^2}{6 \log 2 \log 10}$$ (ver aquí y aquí para la primera igualdad, aquí , aquí y aquí para este último).

Una consecuencia de esto sería $\lim_{n \rightarrow \infty} R_n=1$ . Por supuesto, esto no tiene nada que ver con la base $10$ representación, el teorema de Lévy responde a su pregunta en cualquier base.

Esto no es una prueba de que $355/113$ es óptimo, pero puedes comprobar los primeros convergentes con el código que te han dado en los comentarios; ver también aquí y aquí para obtener resultados efectivos.

Sólo para completar, el mío era

a(n)={A=contfracpnqn(contfrac(Pi,n+1),n));return((1+floor(-log(abs(Pi-A[1,n]/A[2,n]))/log(10)))/(floor(log(A[1,n])/log(10)+1)+floor(log(A[2,n])/log(10)+1)‌​)+0.0);};

pero hay que optimizarlo.

También hay que tener en cuenta que: a) Basta con considerar los convergentes en lugar de cualquier número racional. b) Algo más débil que $\pi$ siendo un número de Khinchin-Lévy sería suficiente, pero esta es la forma más fácil de ver lo que está pasando (la pregunta está relacionada con "¿cómo las aproximaciones racionales a $\pi$ comportarse" de todos modos).

Answer 3

La siguiente fracción utiliza 13 dígitos para llegar a 30 decimales:

ln(640320^3 + 744) / √163

Usar ln es una trampa ya que es el "logaritmo natural" de un número, o su logaritmo a la base e, donde e es una constante irracional y trascendental aproximadamente igual a 2,718281828459 por lo que esto es usar un número irracional para aproximar otro lo que va directamente en contra del enunciado de la pregunta.

Técnicamente √7+√6+√5 (raíces cuadradas anidadas) utiliza 3 dígitos para obtener 4 dígitos redondeados de Pi, ya que ambos redondean a 3,1416, por lo que supera a 355/113 en cuanto a proporción, tal y como está redactada la pregunta, aunque sea una aproximación menos exacta.

El ejemplo memorable más cercano que pude encontrar que es más exacto que 355/113 es (2143/22)^(1/4) usando 8 dígitos para obtener 8 lugares decimales exactos de Pi, pero no es "mejor" que 355/113 como está redactado en la pregunta, y en este punto también puedes recordar Pi con 8 lugares decimales.