¿Qué hago si tengo que resolver la ecuación cuadrática habitual $X^2+bX+c=0$ donde $b,c$ están en un campo de característica 2? Como se señala en los comentarios, se puede reducir a $X^2+X+c=0$ con $c\neq 0$ .
Finalización habitual de las pausas de la plaza. Para un campo finito existe Fórmula Chen que más o menos se parece a $X=\sum_{m} c^{4^m}$ . Me interesa más el ámbito local $F((z))$ o en realidad un campo arbitrario de característica 2.
Creo que esto resuelve $X^2+X+c=0$ en $F((t))$ :
Quiero suponer que $c\in F[[t]]$ . Si no, diga $c=at^{-m}+...$ entonces la cuadrática no tiene soluciones cuando $m$ es impar o $a$ no es un cuadrado, y en caso contrario la sustitución $X\mapsto X+\sqrt{a}t^{-m/2}$ da una nueva ecuación con menor $m$ . Así, después de un número finito de pasos $c=c_0+c_1t+...$ es integral.
Porque $X^2+X+c$ tiene derivación $1$ por el lema de Hensel la ecuación tiene solución si y sólo el término constante $c_0$ es de la forma $d^2+d$ para algunos $d$ en $F$ . Y si lo es, las aproximaciones de Hensel se obtienen partiendo de una solución aproximada $x_0=d$ y calcular recursivamente $x_{m+1}=x_m-f(x_m)/f'(x_m)=x_m^2+c$ . Esto da $$ x = d + \sum_{n=0}^\infty (c-c_0)^{2^n} $$ como solución (las sumas parciales son las $x_m$ ). En realidad, el enfoque parece funcionar sobre cualquier campo completo, reduciendo el problema al campo de los residuos. Espero que esto ayude.
Aquí hay un documento que puede ayudar
http://www.raco.cat/index.php/PublicacionsMatematiques/article/viewFile/37927/40412
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