Teorema de Hilbert sobre $L_2$ norma de los polinomios en $\mathbb{Z}[X]$ - ¿Construcción explícita y una inversa?

Question

Considere el conjunto de polinomios con coeficientes reales como un espacio vectorial con el siguiente producto interno: $\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$ .

Hilbert demostró, en un documento de 1894 que la norma (con respecto a este producto interno) de un polinomio no nulo en $\mathbb{Z}[X]$ puede ser arbitrariamente pequeño cuando $b-a < 4$ . En otras palabras, $\min_{0 \neq p \in \mathbb{Z}[X]} \int_{a}^{b} p^2(x) dx = 0$ .

Mis preguntas son:

1. ¿Qué sucede cuando $b-a \ge 4$ ? ¿Puede la norma hacerse arbitrariamente pequeña en este caso? ¿O existe algún límite inferior (positivo) para $\min_{0 \neq p \in \mathbb{Z}[X]} \int_{a}^{b} p^2(x) dx$ ?

2. Cuando $b-a < 4$ ¿existe una construcción explícita de una secuencia $p_n \in \mathbb{Z}[X],n\ge 1$ ¿con norma que tiende a 0?

He publicado preguntas similares en MSE y no obtuve respuestas.

(La prueba de Hilbert fue la siguiente: Minimizar la norma para polinomios (no nulos) de grado menor que $n$ es equivalente a minimizar una determinada forma cuadrática positiva-definida. La matriz correspondiente $A_n$ tiene entradas $a_{i,j} = \langle x^i, x^j \rangle = \frac{b^{i+j+1} - a^{i+j+1}}{i+j+1}, 0 \le i,j \le n-1$ . Un cálculo utilizando una base ortonormal para nuestro espacio de producto interno muestra que $\det A_n = (\frac{b-a}{4})^{n^2}n^{-1/4} (2 \pi)^n c_n$ donde $c_n$ converge a una constante positiva. Un resultado de Minkowski muestra que, en general, el valor mínimo de una forma cuadrática positiva $\langle v, Av \rangle$ en $n$ variables es como máximo $n (\det A)^{1/n}$ . Desde $\lim_{n} n (\det A_n)^{1/n} = 0$ para $b-a<4$ El resultado es el siguiente).

Answer 1

Para la pregunta 1: Una vez $b-a \geq 4$ la norma no puede ser arbitrariamente pequeña.

Supongamos que $p(x)$ tiene término principal $c_n x^n$ . El mínimo de $\int_a^b p^2(x) \, dx$ sobre todos los polinomios $p(x) = c_n x^n + O(x^{n-1})$ con real coeficientes es un múltiplo de $P_n(l(x))$ , donde $P_n$ es el $n$ -en Legendre polinomio y $l$ es la transformación afín-lineal $l(x) = (2x-(a+b))/(b-a)$ que lleva $(a,b)$ a $(-1,1)$ . Ahora $P(x/2)$ tiene un coeficiente principal $$ \lambda_n := \frac12 \frac34 \frac56 \cdots \frac{2n-1}{2n} \sim \frac1{\sqrt{\pi n}} $$ y la norma $\int_{-2}^2 P(x/2)^2 \, dx = 4/(2n+1)$ . Por lo tanto, en general $$ \int_a^b p^2(x) \, dx \geq \frac4{(2n+1)\lambda_n^2} \left(\frac{b-a}{4}\right)^{\!2n+1} c_n^2, $$ con el factor $r_n := 4/(2n+1)\lambda_n^2$ se acerca a $2\pi$ como $n \rightarrow \infty$ . Desde $|c_n| \geq 1$ deducimos un límite inferior para $\int_a^b p^2(x) \, dx$ que se acerca a $2\pi$ cuando $b-a=4$ , y aumenta exponencialmente con $n$ cuando $b-a > 4$ . [ Añadido más tarde En relación con la reciente MO Pregunta 188807 : desde $\{ r_n \}_{n \geq 0}$ es una secuencia creciente y el $n=0$ atado $b-a$ se obtiene mediante el polinomio entero $p(x) = 1$ (o $p(x) = -1$ ), también se deduce que $b-a$ es el mínimo sobre de todos los valores no nulos $p \in {\bf Z}[X]$ una vez $b-a \geq 4$ .]

También se deduce que si $b-a>4$ entonces para cualquier $M$ sólo hay sólo un número finito de $p \in {\bf Z}[X]$ para lo cual $\int_a^b p^2(x) \, dx < M$ . Cuando $b-a = 4$ esto no es cierto cuando $a,b$ son enteros; No sé lo que ocurre en caso contrario. [Para el caso de los enteros: basta con demostrarlo para $(a,b) = (-2,+2)$ . dejemos que $T_n$ sea el $n$ -en Chebyshev polinomio Entonces $p(x) = 2T_n(x/2)$ tiene coeficientes enteros y $$ \int_{-2}^2 p(x)^2 \, dx \leq \int_{-2}^2 2^2 \, dx = 16. $$ (De hecho, para los grandes $n$ los enfoques integrales $8$ .)]